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\begin{align} ab&=18\cdot[\frac{10^{2013}-1}{9}]^2=\frac29[10^{4026}-2\cdot10^{2013}+1]\ &=\frac29[(10^{4026}-1)-2(10^{2013}-1)]\ &=2\cdot\frac{10^{4026}-1}9-4\cdot\frac{10^{2013}-1}9\ &=\underbrace{22\ldots 2}{4026}-\underbrace{44\ldots 4}{2013}\ &=\underbrace{22\ldots 2}{2013}\underbrace{00\ldots 0}{2013}-\underbrace{22\ldots 2}{2013}\ &=\underbrace{22\ldots 2}{2012}1\underbrace{77\ldots 7}_{2012}8 \ \end {Alinee el}
Su número$ab$$18\cdot \underbrace{11\ldots 11}_{2013}{}^2$.
Imaginemos multiplicando el cuadrado de la repdigit con la costumbre del lápiz y papel algoritmo. Antes de empezar a manipular los lleva entre las columnas, la 2014th columna se suma a $2012$, el uno a la derecha de él se resumen a $2013$, el uno a la derecha, de que las sumas a$2012$, $2011$ y así sucesivamente (y lo que sucede a la izquierda es inmaterial):
(Para ver este patrón, considerar por qué la $111{,}111{,}111\cdot 111{,}111{,}111= 12{,}345{,}678{,}987{,}654{,}321$, justo antes de que las columnas de comenzar a llevar de uno a otro. El análogo de "2014th dígitos" aquí los 10 dígitos, que es el de la izquierda de los dos 8s).
2 0 1 2
+ 2 0 1 3
+ 2 0 1 2
+ 2 0 1 1
+ 2 0 1 0
+ .......
---------------------
= ?
Por simplicidad, permite pre-multiplicar cada una de las filas de aquí por $18$; a continuación, vamos a añadir
3 6 2 1 6
+ 3 6 2 3 4
+ 3 6 2 1 6
+ 3 6 1 9 8
+ 3 6 1 8 0
+ 3 6 1 6 2
+ .........
------------------------
?
En este , además de que hay sólo 5 dígitos distintos de cero en cada columna, de modo que cada uno lleva es en la mayoría de los 4. Los dígitos en la 2013th columna suma a $4+1+1+6+3=15$, por lo que dependiendo de lo que el entrante es, la 2013th dígito del resultado es uno de 5,6,7,8,9, y el llevar a la 2014th columna es necesariamente $1$.
Por lo tanto, lo que se suma la 2014th la columna, incluyendo el llevar, obtenemos
$$ (6+3+2+6+3)+1 = 20+1 = 21 $$
de modo que el último dígito en la 2014th columna 1.
