Procedimiento para el derivado de Gâteaux con funcionales

Question

No después de una respuesta, sólo el método/procedimiento de como estoy perplejo...

Tenemos funcionales:

$$ T[y] = \int_2^3 \left( 3\left| \frac{dy}{dx}\right|^2 - 8y \right)dx $$ $$ S[y] = \cosh(T[y]) $$

Ahora, para encontrar el Gâteaux derivado de la $S[y]$ mi enfoque es el uso de la Regla de la Cadena para $$ S[y] = \cosh \left( \int_2^3 \left( 3 \left|\frac{dy}{dx}\right|^2 - 8y \right) dx \right) $$

Podría ser esto correcto?

O le puedo calcular el Gâteaux Derivado de la $T[y]$ primero y luego sustituir en $S[y]$ y calcular el Gâteaux Derivado de la $S[y]$ el próximo?

Los punteros se agradece, como digo, no estoy realmente después de la respuesta el método correcto.

Gracias.

Answer 1

Sí es suficiente para utilizar la regla de la cadena: si $X$ es el espacio de las funciones están trabajando (donde asumo que puedes derivados), entonces usted tiene $T:X\rightarrow\mathbb{R}$ y $\cosh:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, que $S=\cosh\circ T:X\to\mathbb{R}$ y $\langle(\cosh\circ T)'(x),y\rangle=\cosh'(T(x))\langle T'(x),y\rangle=\sinh(T(x))\langle T'(x),y\rangle$.

Aquí $\langle\cdot,\cdot\rangle$ denota la dualidad.

Answer 2

Mi sugerencia es la siguiente:

En primer lugar, calcular el derivado de la tartas de $T$. $T$ Es cuadrática, esto no debería ser ningún problema.

A continuación, puede utilizar una regla de la cadena $S$ o hacerlo directamente: S $$ [y + t \, dy] = \cosh (T [t + y \, dy]) = \cosh (t + T [y] \, T'[y] \, dy + o(t)) $$ y entonces usted puede seguir usando el differentiability de $\cosh$.

Answer 3

La regla de la cadena de derivados de tartas toma una forma diferente a la regla de la cadena generalmente - véase Bernhard 2005: www-sop.inria.fr/members/Pierre.Bernhard/publications/ber05.pdf