Cálculo de límites multivariables

Question

Me estoy enseñando a multivariable análisis real de Zorich del Análisis matemático II.

Estoy tratando de demostrar que $$f(x)=\begin{cases} x+y\sin(1/x), \text{if } x\neq0\\ 0, \text{if } x=0 \end{cases}$$ satisface $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \; f(x,y)=0$.

Mi prueba: Vamos a $\epsilon>0$ y considerar la bola de radio epsilon $B_{\epsilon}(0)$. Elija $\delta>0$ tal que $\delta<\epsilon/2$. Por norma de equivalencia, podemos considerar que los $0<\|(x,y)\|_{\infty}<\delta$. Para todos los $(x,y)$, $$\|f(x,y)-0\|=\|x+y\sin(1/x)\|\leq\|x\|+\|y\|\|\sin(1/x)\| \leq 2\|(x,y)\|_{\infty} < 2\delta <\epsilon)$$

desde $\|\sin(1/x)\|\leq 1$ todos los $x$.

Mi único problema es justificar por qué no puedo usar el sup-norma o max-norma en lugar de la distancia Euclídea o $p=2$ norma. Por favor, compruebe mi prueba, si es posible, como el auto-estudio es difícil.

Answer 1

Hay un resultado que puede saber que establece que para los espacios dimensionales finitos, todas las normas son equivalentes.

Si no lo sabe, podrá probar que$$\sup(\vert x \vert , \vert y \vert)\le \sqrt{x^2+y^2} \le \vert x \vert + \vert y\vert \le 2 \sup(\vert x \vert , \vert y \vert)$$ for all $ x, y \ in \ mathbb R $

Answer 2

La respuesta es que las normas sobre el $\mathbb{R}^n$ son equivalentes. La matemática precisa instrucción de esto es como sigue: para cualquiera de las dos normas en $\mathbb{R}^n$ $||\cdot ||_{1,2}$ existen constantes positivas $c_1$ $c_2$ tal que $$ c_1||x-y||_1\leq ||x-y||_2\leq c_2||x-y||_1 $$ Uno de los upshots de este es que al cambiar la métrica en una continuidad problema es sólo una cuestión de jugar con las constantes. Es decir, nos dicen que han probado la continuidad con respecto a la norma $1$, luego arbitrarias de epsilon, tenemos para algunos correspondiente $\delta>0$ $$ ||x-y||_1< \delta\implica ||f(x)-f(y)||_1<\epsilon/c_2 $$ lo que implica entonces $$ ||f(x)-f(y)||_2\leq c_2||f(x)-f(y)||_1< \epsilon $$ y debemos elegir $$ ||x-y||_2\leq c_1\delta $$ ya que esto nos da $c_1||x-y||_1\leq ||x-y||_2\leq c_1\delta$.

En mi opinión, la mejor "prueba" de la equivalencia de las dos normas en $\mathbb{R}^n$, aquí se ilustra para el sup norma y la norma Euclídea es la siguiente imagen:

En otras palabras, podemos sandwhich ninguna plaza entre los dos discos.