¿Cómo encontrar el límite finito de esta función?

Question

Deje $f(x) = \dfrac{1-\cos \{x\}}{(x^4 + ax^3 +bx^2 +cx)^2}$. Si $l= \lim_{x\to 1^+}f(x), m = \lim_{x\to 2^+}f(x) $ $n= \lim_{x\to 3^+}f(x),$ donde $l,m$ $n$ cero no finito, entonces:

$a+b+c=? $

$l+m+n=?$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=? $ donde {} denota la parte fraccionaria de la función.

El problema que me estoy enfrentando con esta pregunta es que para$n^+$$n \in \mathbb N$, el numerador está resultando ser $0$ $\{x\}= 0$ $\cos 0 =1$ y el deominator es finito.

Incluso traté de taylor expansiones de $\cos \{x\}$ pero eso no ayuda. No necesito la solución completa, que sólo quieren una pista para poder proceder.

Answer 1

Trate de dividir la parte de la fracción de la función en intervalos diferentes, como $(1,2)$ etc. Para $x\in (1,2) $ tenemos $\{x\} = x-1$, por lo que

$$\begin{align} l=\lim_{x\to1^+} \frac{1-\cos\{x\}}{(x^4+ax^3+bx^2+cx)^2} &= \lim_{x\to1^+}\frac{2\sin^{2}(\frac{x-1}{2})}{(\frac{x-1}{2})^2}\cdot \frac{(\frac{x-1}{2})^2}{(x^4+ax^3+bx^2+cx)^2}\\ &= \lim_{x\to1^+}\frac{(x-1)^2}{2(x^4+ax^3+bx^2+cx)^2} \end{align}$$

Para el límite para ser finito distinto de cero, tenemos $0/0$ forma, así que tenemos $(x=1)$ a raíz del denominador el cuarto grado. Un análisis Similar para los límites de $m,n$ nos da tres raíces de cuarto grado en el denominador, se $x=1,2,3$.

La raíz cuarta es, obviamente,$x=0$. Llame al denominador cuártica como $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx$. Hemos mostrado $P(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)$. Así que ahora la búsqueda de los límites de $l,m,n$ es simple:

• $l= \frac{1}{2 \cdot 1\cdot 4\cdot 1} = 1/8$
• $m= \frac{1}{2 \cdot 1\cdot 1\cdot 4} = 1/8$
• $n= \frac{1}{2 \cdot 1\cdot 4\cdot 9} = 1/72$

A partir de aquí obtenemos $l+m+n = \frac{19}{72}$

Para la búsqueda de $a,b,c$, $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx = x(x-1)(x-2)(x-3)$ $P(1) = a+b+c+1=0$ o $a+b+c=-1$.