El significado intuitivo de "o" y "implica" en los esquemas del axioma de una teoría lógica

Question

En una de Hilbert-sistema de estilo, el axioma de esquemas puede ser escrito como (De Bourbaki, Libro I):

S1. Si $A$ es una relación en $\mathscr C$, la relación $(A\text{ or }A) \Rightarrow A$ es un axioma de la $\mathscr C$ (*).

S2. Si $A$ $B$ son relaciones en $\mathscr C$, la relación $A \Rightarrow (A\text{ or }B)$ es un axioma de la $\mathscr C$.

S3. Si $A$ $B$ son relaciones en $\mathscr C$, la relación $(A\text{ or }B) \Rightarrow (B\text{ or }A)$ es un axioma de la $\mathscr C$.

S4. Si $A$, $B$, y $C$ son relaciones en $\mathscr C$, la relación $$(A\Rightarrow B) \Rightarrow ((C\text{ or }A)\Rightarrow (C\text{ or }B))$$ is an axiom of $\mathscr C$.

Más tarde, se menciona que:

Intuitivamente, las reglas de S1 a S4 simplemente expresar el significado que se adjunta a la palabra "o" y "implica" en el lenguaje habitual de las matemáticas.

Mis preguntas son:
* ¿Qué es exactamente este "significado" de los que están hablando?
* Por ejemplo, ¿por qué necesitamos a $(A\text{ or } A) \implies A$ en esta forma en particular? ¿Qué pasaría si se $(A\implies A)\text{ or } A$ lugar. Sería de esta forma no transmitir el "significado" de los que están hablando y por qué?
Agradecería algunos ejemplos de uno de estos esquemas que pueden arrojar luz sobre cómo estos representan la "o" y "implica" en el lenguaje habitual de las matemáticas.

Answer 1

• ¿Qué es exactamente este "significado" de los que están hablando?

"O" es un conectivo entre dos relaciones que indica que "al menos uno de los dos es verdadero". "Implica" es un conectivo entre dos relaciones que indica una promesa de que "cuando el anterior es cierto, entonces, que la tarde es verdadero".

• Por ejemplo, ¿por qué necesitamos a $(A \mathop{or} A)⟹A$ en esta forma en particular?

Es la afirmación de que "Si $A$ es verdadero o $A$ es verdadera, entonces el $A$ es verdad", lo que debería ser bastante evidente. Es útil, sin embargo, en que la hayan aceptado una vez , como un axioma permite que el sistema a prueba a eliminar la redundancia de ciertas expresiones "por axioma S1 y el modus ponens" en vez de decir: "porque esto es lo que 'o' significa" todo el tiempo.

Answer 2

Creo que Graham respondió a su pregunta así, pero quería añadir algo acerca de la segunda parte. En primer lugar, no necesitamos ningún particular axioma... hay muchas diferentes posibles axiomatizations de la lógica proposicional. La única duro requisito es que los axiomas son verdaderos, y que no hay suficiente de ellos para demostrar todo lo que queremos demostrar. Sin embargo, hay buenas razones para preferir ciertos axiomatizations por encima de los demás.

Por ejemplo, tomando $(A\to A)\operatorname{or} A$ como un axioma sería un poco extraño. Sucede a ser cierto, ya que la $A\to A$ es cierto$.^*$, De hecho, $(A\to A)\operatorname{or} B$ es cierto en la misma cuenta y dice más. La característica de "o" esta captura (siempre que ya podemos probar $A\to A$ es cierto) es que si $C$ es verdadera, entonces el $C\operatorname{or}D$ es cierto independientemente de lo $D$ es. Si bien este es un decente propiedad de capturar en un axioma, es probablemente lo más elegantemente capturado por axioma S2 en su lista.

Por lo que el esquema de $(A\to A)\operatorname{or} A$ parcialmente capta esta idea de una forma indirecta, mientras que S2 totalmente captura de una manera directa.

$^*$ Por la manera en que, a menudo, $A\to A$ es tomada como un axioma. Es cierto y captura una importante faceta de la "implica". Sin embargo, en su axiomatization no es necesario, ya que puede ser demostrado a partir de S2 y S1, como se puede mostrar como un ejercicio.