Un momento de cohomología $.$

Question

Como es bien sabido (cf. Ref.1), el operador de momento se define hasta una forma cerrada independiente del tiempo. Más concretamente, los operadores de momento físicamente no equivalentes se clasifican mediante las clases de cohomología de de Rham del espacio de configuración que, si es topológicamente no trivial, contiene más de un elemento ( $b_1$ elementos, el primer número de Betti).

Pero un físico tiene un operador de momento único. Diferentes elementos de $H^1$ corresponden a dinámicas diferentes; pero la dinámica de un sistema real es fija, es la que es. Por tanto, ¿qué determina qué operador de momento se realiza realmente en un sistema concreto? Si no existe ningún principio que nos permita determinar, a priori, qué operador de momento es "el correcto", ¿podemos al menos hacerlo a posteriori? ¿Se ha realizado alguna vez un experimento de este tipo?

Referencias.

1. DeWitt - El enfoque global de la teoría cuántica de campos capítulo 11.

Answer 1

De-Witt define el operador de momento como: $$p_i = i \frac{\partial}{\partial x^i}-\omega_i(x,t)$$ Exige la forma $\omega = \omega_i dx^i$ para no alterar las relaciones canónicas de conmutación momento-momento.

Obsérvese que el operador de momento describe un acoplamiento mínimo a un potencial vectorial abeliano (una conexión U(1)) con intensidad de campo evanescente. Se trata de un potencial vectorial electromagnético gauge puro o, en terminología matemática, una conexión plana.

El potencial vectorial gauge puro tiene un efecto no trivial en la dinámica (es decir, en las soluciones de la ecuación de Schrodinger) sólo si la variedad en la que vive la partícula tiene un grupo fundamental no trivial $\pi_1(M)$ . Consulte lo siguiente notas de clase de V.P. Nair, sección 4(a), donde se explica el mismo fenómeno desde un punto de vista algo más moderno.

Por supuesto, (cuando existe una solución no trivial para el potencial vectorial) el sistema es un estado de tipo Aharonov-Bohm. Esto significa que hay una fuente (solenoide) que genera este potencial vectorial. La no trivialidad del operador de momento puede detectarse experimentalmente mediante un experimento de interferencia de Aharonov-Bohm.

Las cuantizaciones no equivalentes de este sistema están parametrizadas por el flujo del solenoide módulo del flujo que provoca una fase Aharonov-Bohm de $2 \pi$ . Es decir, el espacio de cuantizaciones no equivalentes es $\mathbb{R}/ 2\pi\mathbb{Z}$ . Un único sistema (una partícula que se mueve en el campo solenoide) tiene un único operador de momento correspondiente a un único punto en el espacio de cuantizaciones no equivalentes. Para realizar otro operador de momento, se puede, por ejemplo, añadir otra partícula que se mueva alrededor de su propio solenoide. La segunda partícula tendrá un operador de momento con un potencial vectorial diferente. Otra posibilidad es cambiar el flujo en el solenoide, como resultado se realizará otra posibilidad del operador de momento. Esta última posibilidad es un cambio de topología del haz principal plano de Aharonov-Bohm .

Observaciones:

1. Este efecto detecta co(homología) en lugar de homotopía, cuando la partícula es escalar. El primer grupo de homología es la abelianización del grupo fundamental; para detectar el grupo fundamental completo (es decir, encontrar una conexión con holonomía no trivial en todos los generadores del grupo), necesitamos una partícula con grados de libertad internos. Esto está relacionado con el reciente pregunta sobre PSE en la que haya participado. Este último se denomina a veces efecto Aharonov-Bohm no abeliano.

2. Los campos gauge puros no triviales (abelianos, no abelianos, generalizados) (y sus espacios de soluciones) describen importantes efectos físicos. Por ejemplo, representan clases de equivalencia gauge de soluciones del modelo de Chern-Simons.

3. Este tipo de efecto topológico ha sido tratado en varias ocasiones, desde distintos puntos de vista, en PSE, véase por ejemplo, estos dos preguntas que he respondido.