Conjuntos crudos momentos de normal multivariante

Question

Deje $X_1,X_2$ seguir un bivariante distribución normal estándar con algunos distinto de cero el coeficiente de correlación, $\rho\neq 0$. Deje que la función de $f(z) = z^k,\; k=1,...$. Por Stein lema, tenemos que

$$\text{Cov}(f(X_1),X_2) = \text{Cov}(X_1,X_2)\cdot E[f'(X_1)]$$

y en nuestro caso

$$\text{Cov}(X_1^k,X_2) = E[X_1^k X_2] = \rho\cdot kE(X_1^{k-1})$$

Desde $E(X_1^{k-1}) = 0$ al $k-1$ es impar, se sigue que

$$\text{Cov}(X_1^k,X_2) = E[X_1^k X_2] = 0,\;\; \text{iff}\;\;\ k+1\;\;\text{is odd}$$

es decir, cuando la suma del momento de pedidos es impar.

Además por Isserlis Teorema, si $X_1,...,X_n$ seguir de forma conjunta un valor cero distribución normal multivariante con la dependencia, tenemos para $m\leq n$

$$E[X_1\cdot ... \cdot X_m] = 0 \;\; \text{iff}\;\;\ m\;\;\text{is odd}$$

Lo que me parece no puede encontrar en cualquier parte, es la generalización de la combinación de los dos resultados y su prueba, a saber, que si $X_1,...,X_n$ seguir de forma conjunta un valor cero distribución normal multivariante con la dependencia, hemos

$$E[X_1^{r_1}\cdot ... \cdot X^{r_m}_m] = 0 \;\; \text{iff}\;\;\sum_{j=1}^m r_j \;\;\text{is odd}$$

¿Tenemos?

Answer 1

Para cerrar éste, como el comentario de whuber ha señalado, que una distribución multivariante sea simétrico en el sentido

$$(X_1, \ldots, X_m) \sim_d (-X_1, \ldots, -X_m)$$

Supongamos también que existen momentos. Entonces

$$E[X_1^{r_1}\cdot ... \cdot X^{r_m}_m] = E[(-X_1)^{r_1}\cdot ... \cdot (-X_m)^{r_m}]$$

$$\implies E[X_1^{r_1}\cdot ... \cdot X^{r_m}_m] = (-1)^{r_1+\cdots+r_m}\cdot E[X_1^{r_1}\cdot ... \cdot X^{r_m}_m]$$

Si $r_1+\cdots+r_m$, la suma de pedidos de momento, es un número par, entonces $(-1)^{r_1+\cdots+r_m}=1$ y la relación es siempre.

Pero si $r_1+\cdots+r_m$ es un número impar entonces tenemos

$$E[X_1^{r_1}\cdot ... \cdot X^{r_m}_m] = - E[X_1^{r_1}\cdot ... \cdot X^{r_m}_m]$$

y esto sólo puede soportar si

$$E[X_1^{r_1}\cdot ... \cdot X^{r_m}_m] = 0$$