Se puede demostrar que, para cada $a$$b$$\mathbb R$,
$$ \int_{0}^{\infty} \! \frac {1}{1+x^{2}} \frac {x^{a} x^{b}}{(1+x^{a})(1+x^{b})}~\mathrm{d}x=0\ ? $$
Cualquier sugerencias?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, se puede. Aquí hay algunos consejos que debe ser ampliado antes de ser llamado una prueba.
Escrito $x^a-x^b$ $(x^a+1)-(x^b+1)$ y simplificar la fracción, uno ve que es suficiente para demostrar que $I(a)$ no depende de $a$, con $$ I(a)=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)(1+x^a)} $$ Para demostrar esto, se podría descomponer $I(a)$ como la suma de un integrante de $0$ $1$y un integrante de $1$ $+\infty$y usar el cambio de variable $y\leftarrow1/x$ en el último. Uno sería el de la izquierda con $$ I(a)=\int_0^{1}\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)(1+x^a)}+\int_0^{1}\frac{y^a\mathrm{d}y}{(1+y^2)(1+y^a)}=\int_0^{1}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}, $$ que es independiente de la $a$, y esto produciría el resultado.
