¿Cómo probar $\sqrt{x}f(x) \to 0$?

Question

Que $f$ no negativo continua decreciente función en $[0,\infty)$. Supongo que $\frac{f(x)}{\sqrt{x}}$ es integrable, entonces el $\sqrt{x}f(x) \to 0$ $x\to \infty$

He intentado probar $\sqrt{x}f(x)$ es a secuencia de Cauchy, pero no puedo hacer. Y no sé cómo utilizar continuidad.

Answer 1

Vamos a desplazar el problema, para hacer más fácil:

Deje $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ ser un proceso continuo, y la disminución de integrable (en $\mathbb{R}^+$) de la función. Demostrar que $xf(x)\to 0$$x\to \infty$.

Primer paso: Aviso que $f\to 0$ $x\to \infty$ (bastante conocido el hecho, pero aún)

A continuación, $f$ tiene que ser no negativo (que no la necesito como una hipótesis!) porque disminuye hacia la $0$.

Segundo paso:

$$ 0\leq \frac{x}{2}f(x) \leq \int_{x/2}^x f(t) dt \underset{x\to \infty} {\,} 0 $$

Debido a $\int_{x/2}^x f(t) dt = \int_0^x f(t) dt - \int_0^{x/2} f(t) dt $ y ambas integrales convergen al mismo límite.

De ahí el resultado.

Answer 2

Tomar el $0<u de="" tienes=""></u>

Por lo tanto

$$0 \le 2\left(\sqrt{v}-\sqrt{u}\right) f(u)\le \int_u^v F(t) \ dt\le 2\left(\sqrt{v}-\sqrt{u}\right) f(v)$ $ donde $F(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}}$

Ahora toma $u=x$ y $v=4x$ te $$0 \le \sqrt{x}f(x) \le \frac{1}{2}\int_{x}^{4x} F(t) \ dt \underset{x\to \infty}{\to} 0$ $

Criterios de Cauchy para un integral convergente. Por lo tanto, $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{x}f(x) = 0$.

Answer 3

Elegir $\varepsilon>0$ arbitrairily. Ya que $f(x)/\sqrt{x}$ es integrable y decreciente siempre disminuye más rápido que $1/x$ en la cola. Así, incluso podemos decir que en un cierto $x_0$ tenemos para todas las $x > x_0$: %#% $ de #% pensar en esto y tratar de probar más formalmente que acabo de hacer.

Ahora, multily ambos lados con $$ \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \leq \frac{\varepsilon}{x}. $% y dejó $x$tienden a $\varepsilon$.