Aquí el mecanismo técnico de "revolvente" significa que para cada elemento de la 2-esfera $S^2$ (o cualquier otra superficie $F$), hay un círculo de $S^1$ conectado. Este tipo de espacio que se llama "círculo paquete" a través de la 2-esfera (o $F$, respectivamente).
Para el hypersphere $S^3$ ocurre que puede ser fibrado como
$S^1\hookrightarrow S^3\stackrel{h}\to S^2$, y de forma explícita, el mapa de $h$ se construye empleando complejos de coordenadas.
Cualquier tetrad $(x,y,s,t)$ de los números reales que satisfacen $x^2+y^2+s^2+t^2=1$ es un elemento en el $S^3$, pero con los números complejos $z=x+iy$ $w=s+it$ el par $(z,w)$ parametrizar puntos en el hypersphere $S^3$ si $z\overline{z}+w\overline{w}=1$. Aquí $\overline{z}=x-iy$ $z\overline{z}=|z|^2$ es el cuadrado de la norma del número complejo a $z$.
Ahora $h(z,w)=(2z\overline{w},z\overline{z}-w\overline{w})\in\Bbb R^2\times\Bbb R$ es realmente un mapa en la 2-esfera, porque
$$\|h(z,w)\|=4z\overline{z}w\overline{w}+(z\overline{z}-w\overline{w})^2
=(z\overline{z}+w\overline{w})^2=1.$$
En el hypersphere tomando otro punto de la forma $(\lambda z,\lambda w)$ con cualquier número complejo a $\lambda$ satisfiying $|\lambda|=1$ se asignan en el mismo punto de $h(z,w)$, debido a $\|h(\lambda z,\lambda w)\|=\|h(z, w)\|=1$
Así que el conjunto $S=\{(\lambda z,\lambda w):|\lambda|=1\}$ es la fibra del mapa $h$$S^1$, determinado por $\lambda$, que es un "círculo", y que $(\lambda z,\lambda w)$ va a través de la ubicación de $(z,w)$$S^3$.
Hacemos hincapié en que el círculo bundle $S^3$ es diferente de la trivial $S^1\hookrightarrow S^1\times S^2\stackrel{\pi}\to S^2$ donde $\pi$ es la proyección de la $\pi(\theta,\xi)=\xi$.
Los objetos (o espacios) $E$ fibrado como $S^1\hookrightarrow E\to F$ se llama círculo de paquetes de más de $F$.
