$1^n$ +$2^n$ + · · · +$n^n$ Es divisible por$n^2$ donde$n$ es un entero positivo impar

Question

Permita que$n$ sea un entero positivo impar. Muestre que la suma$1^n$ +$2^n$ + · · · +$n^n$ es divisible por$n^2$.

Probé la inducción en$n$ y pensé en manipular los términos separando, por ejemplo,$3^{2n+3}$ en$3^{2n+1}\cdot 3^2$ ... luego pensé que la suma de los cuadrados de los enteros jugaría para mostrar la prueba inductiva paso para$n=2k+3$.

Answer 1

Usando el teorema del binomio, tenga en cuenta que es congruente a $k^n+(n-k)^n$ modulo $k^n+(-1)^nk^n$ $n^2$ y $n$ impar, esto es cero. Así, par de todos los términos, excepto el último que es divisible por $n^2$.