¿Qué es

Question

¿Qué es $7-\cfrac{12}{7-\cfrac{12}{7-\cfrac{12}{7-\cdots}}}$?

Los métodos convencionales de resolución de este tipo de problemas me dicen que haga lo siguiente:

Que %#% $ #%

Entonces $$x =7-\cfrac{12}{7-\cfrac{12}{7-\cfrac{12}{7-\cdots}}}$. Entonces la solución es $x = 7-\frac{12}{x}$. ¿Cómo sé que uno a escoger?

Answer 1

(EDITADO)

Si $f(x) = 7 - 12/x$, $f'(3) = 4/3$ mientras $f'(4) = 3/4$. Desde $|f'(3)| > 1$, $3$ es un repelente de punto fijo de la iteración $x_{n+1} = f(x_n)$, mientras que desde $|f'(4)|< 1$, $4$ es una atracción de punto fijo. Por lo tanto, si usted no comienza exactamente en $3$, las iteraciones no convergen a $3$, sino que convergen a $4$ al menos si finalmente acercarse lo suficiente a $4$.

El límite de puntos inmediato de la cuenca de atracción de una atracción de punto fijo puede ser $\pm \infty$, un punto singular (aquí $0$), un repelente de punto fijo, un punto que se asignan a uno de esos, o un $2$-ciclo. Aquí no hay $2$-ciclos, y la cuenca de atracción es $(3, \infty)$. Por lo tanto, si usted comienza, o tener, en cualquier lugar $> 3$, al final de se aproxima el límite de $4$.

Answer 2

La respuesta práctica es calcular un par de términos de la serie y ver que la raíz es la convergencia. Hacer una columna en una hoja de cálculo de partida con $7$ y, a continuación, por debajo de $=7-12/above$ y copiar hacia abajo. Es claramente convergentes a $4$

Si lo hace el de arriba, que es una buena exploración, incluso si usted quiere una solución rigurosa, debe tener en cuenta que las iteraciones son siempre mayores que $4$ y en disminución. Usted puede demostrar que si una iteración es mayor que $4$, el siguiente es menor, pero aún mayor que $4$. Ahora usted tiene una secuencia que es monótona y acotada abajo por $4$, por lo que deben converger. Usted ha demostrado que, si converge es a $3$ o $4$, por lo que se hace.