¿Son diagonalizables todas las raíces cuadradas de las matrices diagonalizables?

Question

Si una matriz es normal/unitariamente diagonalizable, sus raíces cuadradas se calculan fácilmente tomando las raíces cuadradas de sus valores propios (en el plano complejo si es necesario).

Cualquier raíz cuadrada calculada de esta manera va a ser claramente también normal.

Sin embargo, ¿son todo raíces cuadradas de una matriz normal $A$ también va a ser normal, o más generalmente, diagonalizable? Si es así, ¿cómo se puede demostrar? ¿Cómo se pueden calcular las raíces cuadradas no diagonales?

(Probablemente la pregunta podría generalizarse para referirse a cualquier inversa de una función matricial, pero no estoy seguro de ello).

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Algunas preguntas relacionadas:

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Answer 1

Ejemplo tonto: la matriz cero es claramente normal, pero tiene $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ como raíz cuadrada.

Answer 2

No. Mientras $A:=\left(\begin{array}{cc} \cos x & k\sin x\\ k^{-1}\sin x & -\cos x \end{array}\right)$ es una raíz cuadrada de $I_2$ , $$AA^T=\left(\begin{array}{cc} \cos^{2}x+k^{2}\sin^{2}x & \left(k^{-1}-k\right)\sin x\cos x\\ \left(k^{-1}-k\right)\sin x\cos x & k^{-2}\sin^{2}x+\cos^{2}x \end{array}\right).$$ Aplicando $k\mapsto k^{-1}$ obtiene $A^T A$ como algo diferente si $k\ne\pm 1$ .

Answer 3

La noción de normalidad no tiene nada que ver aquí. Dejemos que $A\in M_n(\mathbb{C})$ s.t. $A$ es diagonalizable.

$\textbf{Poposition}$ . Si $dim(\ker(A))\leq 1$ entonces cada una de sus raíces cuadradas es diagonalizable. En caso contrario, hay una de sus raíces cuadradas que no es diagonalizable.

$\textbf{Proof}$ . Caso 1. Supongamos que $dim(\ker(A))=1$ podemos suponer que $A=diag(0,\lambda _1 I_{p_1},\cdots,\lambda_{n-1} I_{p_{n-1}})$ donde el $(\lambda_i)$ son distintos de cero, distintos y $1+p_1+\cdots+p_{n-1}=n$ . Si $B$ es una raíz cuadrada de $A$ entonces $AB=BA$ y $B$ es de la forma $diag(0,B_1,\cdots,B_{n-1})$ , donde $B_i^2=\lambda_i I_{p_i}$ . Entonces, cada $B_i$ es diagonalizable y $B$ también. Resolvemos el caso $A$ invertible de la misma manera.

Caso 2. Si $dim(\ker(A))=k\geq 2$ entonces $A_{|\ker(A)}=0$ admite una raíz cuadrada de la forma $diag(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},0_{k-2})$ que no es diagonalizable. Por lo tanto, obtenemos unos $B$ que no es diagonalizable.

Observación. Por supuesto, podemos generalizar el resultado anterior. Sea $f$ sea una función holomorfa y consideremos la ecuación $f(B)=A$ Entonces las soluciones $B$ son diagonalizables si, para cada $\lambda\in spectrum(A)$ la ecuación $f(x)=\lambda$ sólo tiene raíces simples O tiene raíces múltiples pero, en este caso, el valor propio $\lambda$ es simple..