Permita que$f \colon [0,1] \to [0,1]$ sea una función de la clase$C^1$, de manera que$f(0)=f(1)=1$ y$f'$ no disminuyan, es decir,$f$ sea convexo. Muestre que la longitud de la curva definida por el gráfico de$f$ es menor o igual que 3.
Respuestas
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dxiv
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La intuición detrás de los resultados se hace más evidente si la gráfica de $f$ se une con el segmento entre los puntos de $(0,1)$ $(1,1)$ en cuanto a la forma de una curva cerrada $\,\Gamma\,$. Es bastante obvio que $\,\Gamma\,$ es una curva convexa, y que está incluido en la unidad cuadrada con las esquinas opuestas en$(0,0)$$(1,1)$. Por lo tanto, el perímetro de $\,\Gamma\,$ puede ser mayor que el perímetro de la envolvente de la plaza, que es equivalente a la declaración del problema.
Esta intuición puede ser formalizada como se muestra en estas respuestas en el mes, con la última comilla de Arquímedes, por lo que debe ser la primera formulación del principio:
Si dos planos de curvas C y D con los extremos del mismo son cóncavas en la misma dirección, y C se incluye entre la D y la línea recta uniendo los extremos, la longitud de C es menor que la longitud de la D.
Khang
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1
Notación : $[xy]$ es un segmento de línea entre el $x$ $y$
$[xyz]$ es un triángulo cuyos vértices son a $x,\ y$, e $z$.
Prueba : Supongamos que $f(x_0)\leq f(x)$ todos los $x$
Si $t_i$ es una partición de s.t. $$ A_i=(t_i,f(t_i)),\ \sum_{i=0}^{n-1}\ |A_i-A_{i+1}| +\varepsilon > {\rm longitud \ de \ gráfico\}\ f$$
y $t_i=x_0$ algunos $i$, $$\sum_{j=1}^i\ \| A_{j-1} -A_j\|_1 \geq \sum_{j=1}^i\ |A_{j-1} -A_j| $$ donde $\|\ \|_1$ es Manhattan distancia y $$\sum_{j=i}^n\ \| A_{j} -A_{j+1}\|_1 \geq \sum_{j=i}^n\ |A_{j} - A_{j+1} | $$ Here $ \sum_{j}\ \| A_{j-1} -A_j\|_1 \leq 3$ para que el prooof es seguido.
Prueba usando la distancia Euclídea : Para su comodidad, hemos de suponer que $f(\frac{1}{2}=x_0)=0$.
A continuación, considere $$ S:=\bigg\{ (0,t)\bigg|0\leq t\leq 1\bigg\} \cup \bigg\{ (t,0) \bigg|0\leq t\leq \frac{1}{2} \bigg\} ,\ T:=\sum_{j=1}^i\ [A_{j-1} A_j] $$$$ Considere la posibilidad de una región $R$ cerrado por $S\cup T$. Cortamos $R$ a $R_2$ y un pedazo $Q_2$. Cortamos $R_2$ a $R_3$$Q_3$. Si repetimos el proceso, por lo $R_i$ $T$ en la distancia de Hausdorff.
Aquí se puede suponer que todos los $Q_i=[a_ib_ic_i]$ son triángulo con $[b_ic_i]\subset R_i$. Desde $$ |a_i-b_i|+|a_i-c_i|\geq |b_i-c_i|$$
así que la longitud de $\partial R_i-T$ está disminuyendo.
