¿Hay uncountably muchos $A$ tal que $A^8=I $?

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Deje $A \in M_3 (\mathbb {R})$ ser tal que $A^8=I$. Entonces

1. el polinomio mínimo de a $A$ sólo puede ser de grado $2$.

2. el polinomio mínimo de a $A$ sólo puede ser de grado $3$.

3. cualquiera de las $A = I$ o $ A = -I$.

4. hay una cantidad no numerable de tal $A$.

Tomando $A=I $ podemos eliminar opciones (1) y (2). Para el polinomio mínimo de a $A$ en ese caso es de grado $1$. Ahora tome

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$

A continuación, $A^8=I $ pero $A$ ni $I$ ni $-I$. Así que la opción (3) se elimina. Ahora no sé cómo proceder con la opción (4). Alguien me puede ayudar por favor? Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: %#% $ #%

Answer 2

Sugerencia La reflexión $R$ sobre cualquier $2$-subspace dimensional satisface $R^2 = I$.

Answer 3

Que $O(\theta)$ ser la matriz ortogonal de $2 \times 2$

$O(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}; \tag 1$

conjunto

$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}; \tag 2$

entonces

$O^{-1}(\theta) = O^T(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}; \tag 3$

Tenemos

$O^T(\theta) P O(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ \sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta - \sin^2 \theta & 2 \cos \theta \sin \theta \ 2 \cos \theta \sin \theta & \sin^2 \theta - \cos^2 \theta \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \ \sin 2\theta & -\cos 2 \theta \end{bmatrix}, \tag 4$

que es claramente una familia incontable de $2 \times 2$ matrices; por otra parte,

$(O^T(\theta) P O(\theta))^2 = O^T(\theta) P O(\theta) O^T(\theta) P O(\theta) = O^T(\theta) P I P O(\theta)$ $= O^T(\theta)P^2 O(\theta) = O^T(\theta)I O(\theta) = I, \tag 5$

donde

$(O^T(\theta) P O(\theta))^8 = I \tag 6$

así; ahora

$A(\theta) = \begin{bmatrix} O^T(\theta) P O(\theta) & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}; \tag 7$

entonces

$A^8(\theta) = \begin{bmatrix} (O^T(\theta) P O(\theta))^8 & 0 \ 0 & (-1)^8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = I, \tag 8$

y la familia ${ A(\theta)\mid \theta \in \Bbb R }$ incontable.