Cálculo de este número de clase

Question

Deje $f = x^5+2x^4-2$$\alpha \in \mathbb C$$f(\alpha) = 0$. Mostrar que $\mathbb Z [\alpha ]$ es uno de los principales ideales del anillo.

Lo que he hecho hasta ahora:

Mi idea era probar, primero, que el $\mathcal O_K = \mathbb Z[\alpha ]$ ( $K := \mathbb Q[\alpha]$ ) y después que muestran que el número de clase $h_K = 1$. Esto significaría que la reclamación. Así que calcula el discriminante:

$$d\left(\mathbb Z[\alpha ]\right) = D(f) = -15536 = (-1)\cdot 2^4 \cdot 971$$ A partir de este que pueda derivar $\mathcal O_K = \mathbb Z[\alpha ]$ (Desde $f$ es una de Eisenstein-polinomio de $p=2$ sabemos que $2 \nmid \left[ \mathcal O_K : \mathbb Z [\alpha] \right]$, pero $[ \mathcal O_K : \mathbb Z [\alpha] ]^2 \cdot d(\mathcal O_K)= d(\mathbb Z[\alpha ]) = (-1)\cdot 2^4 \cdot 971$. Por lo tanto,$[ \mathcal O_K : \mathbb Z [\alpha] ]= 1$$\mathcal O_K = \mathbb Z[\alpha ]$)

Sin embargo estoy teniendo problemas mostrando $h_K = 1$. He calculado el Minkowski enlazado $M$. Es $M<7$. Así que sólo hay que mirar el primer ideales por encima de $2,3$ $5$ y demostrar que ellos son los principales ya (¿verdad?). Pero, ¿cómo puedo hacer eso exactamente, no estoy seguro de cómo saber si son de split, inerte o ramificada. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Use$f$ para encontrar la factorización de un primer$p$% en el anillo dado. Tenemos eso:

$$f = x^5 \in \mathbb{F}_2[x] \implies 2\mathcal{O}_K = (2,\alpha)^5 = \mathfrak{p}_2^5$ $$$f = x^5+2x^4+1 \in \mathbb{F}_3[x] \implies 3\mathcal{O}_K = (3)$ $$$f = x^5+2x^4+3 \in \mathbb{F}_5[x] \implies 5\mathcal{O}_K = (5)$ $

(Los polinomios de la izquierda están escritos en su factorización en irreductibles)

Entonces desde aquí tenemos que el problema se reduce a probar que$\mathfrak{p}_2 = (2,\alpha)$ es un ideal principal. Pero esto es cierto, como$2=\alpha(\alpha^4 + 2\alpha^3)$ y así$2 \in (\alpha)$. Por lo tanto, tenemos ese$\mathfrak{p}_2 = (\alpha)$. Por lo tanto, como el grupo de clases del anillo de números enteros es generado por ideales principales, tenemos que$h_K =1$