¿Por qué la definición topológica de continuo es como es?

Question

Yo estaba aprendiendo la definición de continuo como:

$f\colon X\to Y$ es continua si $f^{-1}(U)$ es abierta para todos los abiertos $U\subseteq Y$

Para mí esto se traduce en la siguiente consecuencia:

SI $U \subseteq Y$ está abierto, a CONTINUACIÓN, $f^{-1}(U)$ está abierto

sin embargo, yo habría esperado que la definición de ser al revés, es decir, con la 1ª implicación he definido. La razón para esto es que con sólo mirar la métrica definición del espacio continuo:

$\exists q = f(p) \in Y, \forall \epsilon>0,\exists \delta >0, \forall x \in X, 0 < d(x,p) < \delta \implies d(f(x),q) < \epsilon$

parece estar hablando de Pelotas (es decir, abrir sets) en X y, a continuación, tiene una flecha hacia adelante para abrir establece en Y, por lo que parece natural esperar que la dirección de la implicación a ir en ese camino de ronda. Sin embargo, no es así. ¿Por qué no ir por ese camino? Cuál es incorrecto con la implicación que va de abierto en X para abrir en Y? Y, por supuesto, ¿por qué es la dirección de la corriente, el correcto?

Creo que conceptualmente podría ser aún confundido ¿por qué la definición topológica de continuo requiere para el inicio de las cosas en el espacio de destino y, a continuación, requieren que las cosas en el dominio. No podemos simplemente decir cosas mapa de X a Y y hacer que se cierre? ¿Por qué se requiere para postular cosas acerca de la primera Y en la definición de la definición de continuo para que funcione correctamente?

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No puedo dejar de señalar que esta cuestión de La definición de función continua en topología parece ser similar, pero tal vez la falta de la detallada discusión sobre la dirección en la implicación, para mí, para realmente entender el por qué de la definición no se invierte o ¿qué sucede si hacemos la inversa. La segunda respuesta no intenta hacer un intento de explicar por qué requerimos $f^{-1}$ a conservar la propiedad de la apertura, pero no es conceptualmente obvio para mí ¿por qué ése es el caso, o de lo que pasa. Alguna ayuda?

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Para quien sugieren para cerrar la cuestión, la cuestión es bastante clara:

¿por qué es inversa a la implicación no es el "correcto" de la definición de continuo?

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Como un punto importante que he notado es, señalando la diferencia entre la asignación abierta y continua de la función sería muy útil.

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Nota: he encontrado esto en el bebé Rudin, así que eso es tan lejos como mi fondo en el análisis de va, es decir, la métrica del espacio es mi lugar de comprensión.

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Confusión adicional/Anexo:

Conceptualmente, creo que lo he conseguido clavar lo principal para mi es la confusión. En términos conceptuales funciones continuas son supongamos que en el mapa "de cerca de lugares cercanos a los puntos" así que para mí su espacio métrico definición tiene sentido en ese sentido. Sin embargo, no parece ser obvio para mí a menos que equiparar "open series" de la definición de "cerca". Las pelotas están abiertas, pero hay un montón de juegos que son abiertos, pero no son "cerca de", por ejemplo la unión de dos bolas. Creo que esto es lo que me confunde más. ¿Cómo es la topológico def respeto conceptual requisito?

Answer 1

La "normal" de la definición dice así:

Se afirma que, en punto fijo, para cualquier balón $B_\epsilon$ radio $\epsilon$ en la imagen, existe una bola de $B_\delta$, en la preimagen, de radio $\delta$ tal que $Im (B_\delta) \subset B_\epsilon$. Esta es la implicación $$(...) < \delta \implies (...) < \epsilon $$

Muy informalmente, se podría comparar la declaración, por las continuas $f$,

Para cualquier balón $B_\epsilon$ en la imagen, usted puede encontrar una bola de $B_\delta$ el mapeo en $B_\epsilon$

y

Para cualquier balón $B_\epsilon$ en la imagen, su preimagen contiene una bola $B_\delta$

y

El preimages de abrir los conjuntos son abiertos.

En espacios topológicos, el último es a menudo tomado como una definición.

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Con respecto a su interpretación

SI $U \subseteq Y$ está abierto, a CONTINUACIÓN, $f^{−1}(U)$ está abierto

Esto es perfectamente válido y se traduce como "SI usted me da un $\epsilon$ puedo encontrar un correspondiente $\delta$".

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Respecto a la implicación, me explico de esta manera, de mostrar lo que pasa con esa implicación:

Deje $U \subset Y$ ser abierto, entonces para este conjunto puede tener su preimagen, $f^{-1}(U) \subset X$, que es el conjunto que satisface: $$x \in f^{-1}(U) \implies f(x) \in U $$ Así que ahora usted puede decir libremente:

Para cualquier abierto $U \subset Y$, hay un conjunto $f^{-1}(U) \subset X.$

Si es así, que $f^{-1}(U)$ está abierto para cualquier abierto $U$, entonces llamamos a $f$ continuo. La traducción, esto significa que si se da la circunstancia de que para cualquier radio de $\epsilon$, puede encontrar un correspondiente $\delta$ tal que $$ x\in B_\delta \implies f(x) \in B_\epsilon, $$ then $f$ es continua.

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Un par de detalles más:

Tienes que ser más cuidadoso al estado exactamente a qué te refieres con la asignación de "cerca de lugares cercanos a los puntos".

Dada una métrica, siempre podemos tener bolas como subconjuntos de ese espacio. El abrir los conjuntos son precisamente aquellos en los que, para cada una de las $x$, tienen algún balón alrededor de ellos completamente contenida en el conjunto abierto. Esto es cierto independientemente de si el conjunto abierto es una unión de intervalos abiertos, todo el espacio, un intervalo, o cualquier otro conjunto abierto.

Decir que $f$ mapas "cerca de lugares cercanos a los puntos" quiere decir que, si se fija un punto de $x_0$, y mira lo que sucede a los puntos cercanos a $x_0$, todos ellos serán asignados a puntos cercanos a $f(x_0)$. El significado exacto de esto es que: para cada uno de los fijos $x\in f^{-1}(U)$, para cualquier balón $B_\epsilon$ $f(x)$ (y uno existe, y satisies $B_\epsilon \subset U$, por el grado de apertura), hay una bola de $B_\delta$ alrededor del punto de $x$ que se asigna a $B_\epsilon$. Desde $B_\epsilon \subset U$,$B_\delta \subset f^{-1}(U) $, que, por definición, hace que la preimagen abierto. Es una pelota alrededor de un punto arbitrario completamente en $f^{-1}(U) $.

Cualquier conjunto abierto que tiene, todos los puntos en que habrá interior, por lo que la continuidad (la búsqueda de la coincidencia de bolas $B_\delta$$B_\epsilon$) trabaja en cada punto en el tiempo, por así decirlo. Y ahora que casi se sale de la lengua: $$\forall x \ \forall \epsilon \ \exists \delta \ (...) $$

A mí, de alguna manera es intuitivamente claro que si quieres una declaración acerca de cómo algunos valores de $f(x)$ se comportan, tendría que empezar con algo acerca de su meta establecida. Tal vez eso es sólo conmigo. Una especie de empezar con la pregunta "¿Cómo cerrar a $f(x_0)$ desea que las salidas de $f$ a", que es una pregunta acerca de la meta establecida.

Answer 2

La definición de continuidad en un punto de $a$ para una función $f\colon A\to B$ (dicen que entre espacios métricos) es: para todos los $\varepsilon >0$ existe $\delta>0$ que si $d(x,a)<\delta$,$d(fx,fa)<\varepsilon$. Ahora, observe que el $\varepsilon$ es utilizado para una condición en el codominio y el $\delta$ es utilizado para una condición en el dominio. De modo que el orden de cuantificación es: para todos algo en el codominio, hay un algo en el dominio, por ejemplo, que bla, bla, bla. El topológica de la definición de continuidad se lee: para todo abierto en el codominio, la inversa de la imagen se abra en el dominio. Esto muestra que, de hecho, la varianza de ambas definiciones es el mismo: la continuidad de una de $f\colon A\to B$ significa que podemos extraer información de$B$$A$. Así, la contravarianza en la definición topológica de la continuidad no es nada que no haya visto en la métrica definición ya. Usted siempre pensé que la métrica definición es variante, pero fue contravariante todo el tiempo. El topológica de la formulación, simplemente lo hace inevitable aviso.

Answer 3

Creo que en la traducción, se podría ayudar a separar la generalización de la noción de "continuidad en un punto" de la general topológico argumentos de que esta generalización de ser verdad en cada punto es equivalente a la condición del inverso de imágenes de bloques abiertos.

Así, recordemos que para un mapa de $f : X \to Y$ entre espacios métricos, y $x_0 \in X$, $f$ es continua en a $x_0$ si y sólo si: $$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in X, d(x, x_0) < \delta \rightarrow d(f(x), f(x_0)) < \epsilon. $$ Ahora vamos a expresar lo que esta condición está diciendo en términos de abrir bolas: en primer lugar, $d(f(x), f(x_0)) < \epsilon$ es equivalente a $f(x) \in B_\epsilon(f(x_0))$, lo que equivale a $x \in f^{-1}(B_\epsilon(f(x_0)))$. Por otro lado, $d(x, x_0) < \delta$ es equivalente a $x \in B_\delta(x_0)$. Por lo tanto, $f$ es continua en a $x_0$ si y sólo si: $$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in X, x \in B_\delta(x_0) \rightarrow x \in f^{-1}(B_\epsilon(f(x_0))). $$ Ahora, el $\forall x \in X$ parte es equivalente a un subconjunto condición, por lo $f$ es continua en a $x_0$ si y sólo si: $$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, B_\delta(x_0) \subseteq f^{-1}(B_\epsilon(f(x_0))). $$ Ahora, tenga en cuenta que el $\exists \delta > 0, \ldots$ parte es equivalente por definición: "$f^{-1}(B_\epsilon(f(x_0)))$ es un barrio de $x_0$." Además, la colección de $B_\epsilon(f(x_0))$ $\epsilon > 0$ es, precisamente, el barrio de base al $f(x_0)$ proveniente de la métrica en la $Y$. En resumen, hemos visto que más o menos directamente:

$f$ es continua en a $x_0$ si y sólo si para todos los barrios y ghettos $N$$f(x_0)$, $f^{-1}(N)$ es un barrio de $x_0$.

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Ahora, no todos los espacios topológicos en general tienen un sistema natural de barrio bases, por lo general, la generalización de la continuidad en un punto a los mapas generales de espacios topológicos se verá algo como:

Definición: Dejar $f : X \to Y$ ser un mapa entre espacios topológicos, y $x_0 \in X$. A continuación, $f$ es continua en a $x_0$ si y sólo si uno de equivale a las siguientes afirmaciones es verdadera:

1. Para cada vecindario $N$$f(x_0)$, $f^{-1}(N)$ es un barrio de $x_0$.
2. Para cada abierto vecindario $N$$f(x_0)$, $f^{-1}(N)$ es un barrio de $x_0$.
3. (En la presencia de un sistema dado de barrio bases en $Y$:) Por cada básica vecindario $N$$f(x_0)$, $f^{-1}(N)$ es un barrio de $x_0$.

(Por supuesto, creo que en la práctica, la mayoría de los libros de texto es probable que sólo tienes que elegir una de estas condiciones, como la definición - en mi experiencia, por lo general ya sea (1) o (2) - y, a continuación, probar la equivalencia con las otras condiciones como separados de los resultados).

También, tenemos el general topológico hecho: "Para cualquier subconjunto $U \subseteq X$, $U$ es abierto si y sólo si $U$ es un barrio de todos sus elementos." El uso de este, es fácil probar la primera equivalencia en la siguiente definición revisada de la continuidad:

Definición: Dejar $f : X \to Y$ ser un mapa entre espacios topológicos. A continuación, $f$ es continua si y sólo si uno de equivale a las siguientes afirmaciones es verdadera:

1. $f$ es continua en cada punto de $X$.
2. Para cada subconjunto abierto $V \subseteq Y$, $f^{-1}(V)\subseteq X$ está abierto.
3. (En la presencia de una base para la topología de $Y$:) Para cada subconjunto abierto básicos $V \subseteq Y$, $f^{-1}(V) \subseteq X$ está abierto.

(Por supuesto, de nuevo la mayoría de los libros de texto se presente (2) como la definición de continuidad y, a continuación, probar la equivalencia entre (1) y (3) como separados de los resultados).

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Ahora, de acuerdo con la traducción anterior, el $\epsilon$-$\delta$ definición de continuidad está más estrechamente relacionada con (1) anterior, con la continuidad en un punto de $x_0 \in X$ ser ampliado a partir de (3). Mirando más de cerca en la fase de expansión inicial, vemos que el conjunto de la estructura de la "si $V$ es un abierto básicos barrio de $f(x_0)$ $f^{-1}(V)$ es un barrio de $x_0$" se expande a la $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \ldots$ part. Mientras que la parte de la pregunta es sobre, la parte $d(x, x_0) < \delta \rightarrow d(f(x), f(x_0)) < \epsilon$, es en realidad parte de la expansión de la "$f^{-1}(V)$ es un barrio de $x_0$."

Answer 4

Las dos definiciones son equivalentes entre sí por espacios métricos. Para ver que la primera definición implica la segunda, que $\epsilon>0$ y $y=f(x)$. La bola abierta $B\epsilon(y)$ está abierta en $Y$. Por lo tanto $f^{(-1)}(B\epsilon(y))$ debe estar abierto en $X$. Por lo tanto, contiene % bola abierta $B\delta(x)$suficientemente pequeño $\delta>0$. Desde $B\delta(x)\subset f^{(-1)}(B_\epsilon(y))$, hemos encontrado $\delta>0$ tal que $c\in X, d(x,c)

La implicación inversa también utiliza un argumento usando bolas abiertas.

Answer 5

Yo habría esperado que la definición de ser al revés

Me llevará a ser la propuesta de esta:

$f\colon X\to Y$ es continua si $f(U)$ es abierta para todos los abiertos $U\subseteq X$

Pero que no sirva. En particular, considere la posibilidad constante de funciones. Constante funciones se encuentran entre aquellos que cumplan con nuestras expectativas para la continuidad y constante de las funciones métrica espacios son, de hecho, continua por la métrica espacio-definición de continuidad. Pero si $f\colon X\to Y$ es una función constante y $V \subseteq X$ es no vacío, a continuación, $f(V) = \{k\}$ algunos $k \in Y$, y en muchos de los casos que nos interesan, tales singleton conjuntos son cerrados, y no abiertos.

Por otro lado, consideremos una función constante $f$ se define como el anterior, y deje $U\subseteq Y$ ser abierto. La preimagen $f^{-1}(U)$ $U$ es $\emptyset$ o $X$, los cuales son abiertos, por definición, en cada topología de más de $X$, de modo que la definición que se inició con sirve para este ejemplo.

En la tercera mano, considere la posibilidad de $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ definido por $f(x) = -1$ si $x \lt 0$ $f(x) = 1$ si $x \ge 0$. Para demostrar que es discontinua, de elegir, de decir, el intervalo abierto $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$. La preimagen de ese conjunto abierto es cerrado set $\left[0,\infty\right)$.

Más en general, la definición capta la idea de un punto de discontinuidad en el rango de la función, y que debe parecer natural, porque eso es lo que usted busca cuando la inspección visual de la gráfica de una función de discontinuidades.