La secuencia de Fibonacci es generado por las fórmulas \begin{cases} r_0=1 & r_1=1\\ r_{n+1}=r_n+r_{n-1} \end{casos} La la secuencia, por tanto, comienza $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots$. Demostrar que la secuencia de $[2r_n/r_{n-1}]$ converge a $1+\sqrt{5}$. Es la convergencia lineal, signos diacríticos, cuadrática?
Prueba: Supongamos que tenemos la siguiente relación de recurrencia $$r_{n+1}=r_n+r_{n-1},$$ where $r_0=1$ and $r_1=1$. We want to show that the sequence $[2r_n/r_{n-1}]$ converges to $1+\sqrt{5}$. i.e. We want to show that $$\lim_{n\to \infty} \dfrac{2r_n}{r_{n-1}}=1+\sqrt{5}.$$ Antes, se demuestra que este límite es cierto, tenemos que encontrar la solución a esta recurrencia relación con las condiciones iniciales.
El correspondiente polinomio característico de la relación de recurrencia es $$p(\lambda)=\lambda^2-\lambda-1=0.$$ Hence the roots of the characteristic polynomial are $\lambda=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$. Hence the general solution for the relation is $$r_n=A\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+B\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n.$$
A continuación, queremos encontrar los valores de $A$ $B$ con las condiciones iniciales. Con los valores iniciales $r_0=1$$r_1=1$, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: \begin{cases} 1=r_0=A+B \\ 1=r_1=A\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+B\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) \end{casos}
Multiplicar la primera ecuación por $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. \begin{cases} \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=r_0=A\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+B\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \\ 1=r_1=A\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+B\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) \end{casos}
A continuación, reste la ecuación (1) de la ecuación (2), que los resultados con $$\dfrac{\sqrt{5}=1}{2}=B\sqrt{5} \iff B=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}.$$ Además $$A=1-\dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}=1-\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}+\dfrac{1}{2\sqrt{5}}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}.$$ Por lo tanto, la solución general de la relación es \begin{equation*} \begin{aligned} r_n & =\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \\ & =\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\dfrac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{2^{n+1}}\right]. \end{aligned} \end{ecuación*}
Ahora podemos demostrar que la secuencia de $[2r_n/r_{n-1}]$ converge a $1+\sqrt{5}$. \begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{n\to \infty} \dfrac{2r_n}{r_{n-1}} & = \lim_{n\to \infty} \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{5}}\left[\dfrac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{2^{n+1}}\right]}{\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\dfrac{(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}}{2^{n}}\right]} \\ & = \lim_{n\to \infty} \dfrac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}} \\ & = \lim_{n\to \infty} \dfrac{\dfrac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{(1+\sqrt{5})^n}}{\dfrac{(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}}{(1+\sqrt{5})^n}} \\ & = \lim_{n\to \infty} \dfrac{(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})\cdot \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)^{n}}{1-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)^{n}} \\ & = \dfrac{(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})\cdot 0}{1-0} \\ & = 1+\sqrt{5}. \end{aligned} \end{ecuación*}
Nota: Desde $0<\dfrac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}<1$, $$\lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)^{n}=0.$$
Para finalizar la pregunta que me deben decir si la convergencia es lineal, signos diacríticos, o cuadrática. Sé que
- Si el límite es igual a 0, entonces la convergencia es signos diacríticos.
- Si el límite es igual a 1, entonces la convergencia es lineal.
- Si el límite es igual a 2, entonces la convergencia es cuadrática.
Sin embargo, mi límite es igual a $1+\sqrt{5}$. Me estoy perdiendo algo?