¿Cuál es el dígito "a" en este número?

Question

a y b son dígitos en un número natural de cuatro dígitos 7a5b. Si 7a5b es divisible por 18, ¿cuántos valores posibles diferentes puede tener "a"?

Answer 1

Un número es divisible por $18$ si es divisible por $2$ y $9$ . Por lo tanto, debemos tener $b \in \{0,2,4,6,8\}$ y $7+a+5+b$ divisible por $9$ ya que un número es divisible por $9$ si la suma de sus dígitos es divisible por $9$ . Creo que ya puedes resolverlo.

Answer 2

Una manera:

$$7a5b=7050+100a+b\equiv 12+10a+b\pmod{18}$$

Claramente, $b$ debe ser uniforme

y $9$ debe dividir $12+10a+b=12+10a+b\iff 3+a+b$ debe ser divisible por $9$

Por ejemplo,

si $b=0,3+a$ debe ser divisible por $9\implies a=6$ como $0\le a\le9\iff3\le a+3\le12$

si $b=2,5+a$ debe ser divisible por $9\implies a=4$

y así sucesivamente

Answer 3

Como es divisible por $18$ , $7a5b$ debe ser divisible por $9$ y $2$ . Utilizando las reglas de divisibilidad, $$b \text{ must be even}$$ $$7+a+5+b \text{ must be divisible by 9}$$ Así que si $b$ es incluso es de la forma $2k$ para algún número entero $k$ . Así que entonces $7+a+5+2k=9m$ . Ahora los casos de uso para $b$ . Por ejemplo, cuando $b=2$ , $$7+a+5+2=14+a$$ Así que $a$ debe ser 4 ya que $14+4=18=9\cdot2$ . Ahora, ¿qué pasa con $a=4,6,8,10$ ? Puedes probarlos por tu cuenta.