Longitud de la curva en coordenadas esféricas 3D

Question

Dejar $r$ sea la magnitud de un vector en 3D con coordenada esférica $(r,\theta,\phi)$ y coordenadas cartesianas es $(x,y,z)$ cuyo ángulo con $z$ eje es $\phi$ y la proyección del vector hace el ángulo $\theta$ con $x$ eje. Conocemos las relaciones $$x=r\sin\theta\cos\phi$$ $$y=r\sin\theta\sin\phi$$ $$z=r\cos\phi$$

Ahora $\gamma(t):[0,1]\to \mathbb{R}^3$ sea una curva $\gamma(t)=(x(t),y(t),z(t))$ Ahora podría confirmarme que la longitud de la curva viene dada por las fórmulas $$l_{\gamma}=\int_{0}^{1}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+(\frac{dz}{dt})^2}?$$ En caso afirmativo, ¿cómo hemos llegado a esta fórmula?

y a partir de la relación anterior de coordenadas cartesianas y esféricas he calculado que la longitud viene dada por $l_{\gamma}=\int_{a}^{b}\sqrt{(\frac{dr}{dt})^2+r^2(\frac{d\theta}{dt})^2}$ ¿Cuál será el límite superior e inferior de esta integración?

Answer 1

Cuando $0<t_1-t_0\ll 1$ uno tiene $$\eqalign{|\gamma(t_1)-\gamma(t_0)|^2&= (x(t_1)-x(t_0))^2+(y(t_1)-y(t_0))^2+(z(t_1)-z(t_0))^2 \cr &\doteq \bigl(\dot x^2(t_0)+\dot y^2(t_0)+\dot z^2(t_0)\bigr)(t_1-t_0)^2\cr}$$ y por lo tanto $$|\gamma(t_1)-\gamma(t_0)|\doteq \sqrt{\dot x^2(t_0)+\dot y^2(t_0)+\dot z^2(t_0)}\ (t_1-t_0)\ .$$ Introducir una partición $0=t_0<t_1<\ldots<t_N=1$ de $[0,1]$ obtenemos $$\eqalign{L(\gamma)&\doteq\sum_{k=1}^N|\gamma(t_k)-\gamma(t_{k-1})|\cr &\doteq\sum_{k=1}^N\sqrt{\dot x^2(t_{k-1})+\dot y^2(t_{k-1})+\dot z^2(t_{k-1})}\ (t_k-t_{k-1})\cr &\doteq \int_0^1\sqrt{\dot x^2(t)+\dot y^2(t)+\dot z^2(t)}\ dt\ .\cr}$$ Una prueba real, utilizando los supuestos adecuados, así como $\epsilon$ y $\delta$ , haría que este argumento fuera preciso.

Uso de coordenadas esféricas $(r,\phi,\theta)$ , donde $\phi=\arg(x,y)$ y $\theta=\arg(\sqrt{x^2+y^2},z)$ uno tiene $$x=r\cos\phi\cos\theta,\quad y=r\sin\phi\cos\theta,\quad z=r\sin\theta\ .$$ Cuando $r$ , $\phi$ y $\theta$ se dan como funciones de $t$ se deduce por la regla de la cadena que $$\dot x=\cos\phi\cos\theta\ \dot r-r\sin\phi\cos\theta\ \dot\phi-r\cos\phi\sin\theta\ \dot\theta\ ,$$ y de forma similar para los otros dos. Ahora calcule $\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2$ en términos de las variables esféricas y simplificar. Deberías obtener $$ds=\sqrt{\dot r^2 + r^2\cos^2\theta\ \dot\phi^2+ r^2\ \dot\theta^2}\ dt\ .$$

Answer 2

A la confirmación de la fórmula de la longitud de la curva:

La longitud de la curva

$$ \gamma:t\mapsto\vec x(t)= \left( \begin{array}{c} x^1(t)\\ x^2(t)\\ x^3(t) \end{array} \right)\ ; \quad t\in[0,1] $$

se puede aproximar por la longitud de la trayectoria poligonal que va desde $\vec x_0=\vec x(0)$ de paso $\vec x_i=\vec x(t_i),\ i=1,2,...n-1\ $ a $\vec x_n=\vec x(1)$ , donde $t_0=0<t_1<t_2<\ ...<t_n=1$ es una partición del intervalo $[0,1]$ .

La longitud de un segmento de $\vec x_{i-1}$ a $\vec x_i$ es de Pitágoras $$ \sqrt{\sum_k(x_i^k-x_{i-1}^k)^2}\ ;\quad k\in\{1,2,3\}\ . $$ (La diagonal principal de un cubo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus lados).

Desde Teorema de Rolle sabemos que $x_i^k-x_{i-1}^k=(t_i-t_{i-1})\frac{\mathrm dx^k}{\mathrm dt}_{|\xi_{i,k}}$ . Si tomamos para cada componente $k$ un común $\xi_i$ cometeremos un pequeño error que irá a cero con particiones cada vez más finas de nuestro intervalo, porque $\sqrt{\sum_k{(\frac{\mathrm dx^k}{\mathrm dt}_{|\xi_{i,k}})^2}}$ es uniformemente continua en sus argumentos.

Nuestra aproximación a la trayectoria del polígono se convierte entonces en

$$ \sum_{i=1}^n(t_i-t_{i-1})\sqrt{\sum_k{(\frac{\mathrm dx^k}{\mathrm dt}_{|\xi_{i}})^2}}\quad, $$

que es la suma de Riemann de la integral

$$ l(0,1,\gamma)=\int\limits_0^1\sqrt{\sum_k(\frac{\mathrm dx^k}{\mathrm dt})^2}\,\mathrm dt \quad. $$

Fuente: Dragón Skript Capítulo 12 Integración, Wegintegral (en alemán)

Answer 3

Una breve respuesta informal:

El vector de distancia $\Delta S$ entre dos puntos cercanos (diferenciales) es \begin{equation} \Delta S = (\Delta x, \Delta y, \Delta z). \end{equation} La longitud del arco es (2-norma de la distancia) \begin{equation} ds = \| \Delta S \| = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} \end{equation}

El diferencial real para $s$ parametrizado por $t$ es $ds = (ds/dt) dt$ . Es decir, tenemos

\begin{equation} ds = \frac{ds}{dt} dt = \sqrt { \left ( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dz}{dt} \right )^2 } dt. \end{equation}

La integración viene como la fórmula dada arriba en la pregunta.

Ahora, las coordenadas esféricas se parametrizan como: \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta. \end{eqnarray}

Aquí $r$ es la distancia radial, $\phi$ es el ángulo acimutal $0 \le \phi < 2 \pi$ y $\theta$ es el ángulo polar siendo $0$ en el polo norte y $\pi$ en el polo sur.

La figura siguiente muestra los símbolos de esta parametrización, así como las tres diferenciales fundamentales a lo largo de la $r, \phi$ y $\theta$ direcciones.

Mientras que utilizando la regla de la cadena encontramos una forma algebraica de llegar a la ecuación, podríamos utilizar un argumento geométrico en la figura. Es decir, para entender el elemento de distancia podemos desde la Figura como la diagonal del cubo esférico de $(r, \theta, \phi)$ , a $(r+dr, \theta d \theta, \phi + d \phi)$ . El elemento diferencial a lo largo del $r$ dirección es $dr$ el elemento diferencial a lo largo del $\phi$ dirección es $r \sin \theta d \phi$ y el elemento diferencial a lo largo del $\theta$ dirección es $r d \theta$ entonces por la fórmula de la distancia:

\begin{equation} ds = \sqrt{(dr)^2 + r^2 \sin^2 \theta (d \phi)^2 + r^2 (d \theta)^2}. \end{equation}

Entonces $ds/dt$ es

\begin{equation} \frac{ds}{dt} = \sqrt{ \left ( \frac{dr}{dt} \right )^2 + \sin^2 \theta \left ( \frac{d \phi}{dt} \right)^2 + r^2 \left ( \frac{d \theta}{dt} \right )^2}. \end{equation}