Ejemplos de isomorfismos naturales

Question

Soy un estudiante de Teoría de Categoría y estudiante de Álgebra intermedio. ¿Podría alguien proporcionarme algunos ejemplos de isomorfismos naturales (en la teoría de categorías) además del isomorfismo natural entre el functor de identidad en Grp y el functor opuesto en Grp , y el isomorfismo natural entre el functor de identidad en Vect $^{\text{finite}}_{\mathbb{F}}$ y el doble mapa dual en Vect $^{\text{finite}}_{\mathbb{F}}$?

Answer 1

Deje $C$ denotar la categoría cuyo único objeto es $\Bbb R^n$ (fija de $n \in \Bbb N$) y cuyos morfismos son transformaciones lineales.

Deje $D$ denotar la categoría cuyo único objeto es el conjunto $V = \{[x_1,\dots,x_n]^T:x_i \in \Bbb R\}$ y cuyos morfismos son las matrices (composición está dada por la multiplicación de la matriz).

Dado bases de $A,B$ $\Bbb R^n$ definimos el functors $F,G:C \to D$ por $$ F(f) = [f]_{A \}\\ G(f) = [f]_{B \B} $$ Es decir, nuestro functors tomar una transformación lineal y el rendimiento de su representación de la matriz con respecto a alguna base.

Podemos definir una transformación natural $\eta:F \to G$ por $$ \eta_V = [I]_{A \B} $$ Es decir, el cambio de base de la matriz con respecto a $A$$B$. Debido a que la matriz $\eta_V$ es invertible, $\eta$ es, por supuesto, un isomorfismo natural.

Answer 2

• Si $G$ es un grupo, considerado como un elemento de la categoría, a continuación, el natural isomorphisms de la identidad functor a sí mismo son exactamente los automorfismos de a $G$.

• Si $X\to Y$ es cualquier isomorfismo en una categoría, entonces la inducción de la transformación natural de functors $\operatorname{Hom}(-,X) \to \operatorname{Hom}(-,Y)$ es un isomorfismo natural.

• Usted puede haber visto los hom-tensor de contigüidad $\operatorname{Hom}(Y\otimes X, Z) \cong \operatorname{Hom}(Y,\operatorname{Hom}(X,Z))$ $R$- módulos de $X,Y,Z$. Si fijamos $X$, entonces los functors $\operatorname{Hom}(-\otimes X, -)$ $\operatorname{Hom}(-,\operatorname{Hom}(X,-))$ son isomorfos functors de $C^2$ $\operatorname{Set}$donde $C$ es la categoría de $R$-módulos.

• Último ejemplo sirve para cualquier par de adjoint functors. Usted probablemente no ha llegado a esos, pero, como otro ejemplo, si tengo un set $S$ e un espacio vectorial $V$, entonces el conjunto de mapas de $S\to V$ están en bijection con el espacio vectorial de los mapas $F(S) \to V$ donde $F(S)$ es el libre espacio vectorial con base $S$. Entonces tenemos dos functors de la categoría de pares $(S,V)$ a la categoría de conjuntos, a saber,$\operatorname{Hom}_{set}(S,V)$$\operatorname{Hom}_{vect}(F(S),V)$. Estos functors son naturalmente isomorfos.