Análisis complejo - función en el disco unidad abierto con $\Re(f(z)) \geq 0$

Question

Supongamos $f:D \to \mathbb C$ es una analítica y la no-función constante con $\Re(f(z)) \geq 0$ todos los $z \in D$. Mostrar que $\Re(f(z)) > 0$ todos los $z \in D$, $\left|f(z)\right|\leq \frac{1+|z|}{1-|z|}$ todos los $z \in D$ si, dado que la $f(0)=1$.

Para la primera parte de la pregunta, mi intento de solución es breve: considere cualquier $ z_0 \D$ and any $0<r<\|izquierda|z_0|-1\right|$. By the Open Mapping Theorem, $f(B(z_0, r))$ is open in $\mathbb C$. But that means, assuming $\Re(f(z_0))=0$, that there must be some $\omega \in f(B(z_0,r))$ such that $\Re(\omega)<0$, since $f(B(z_0,r)) \cap \{z:\Re(z)<0\} \ = \emptyset$. Thus there is some $z_{\omega} \D$ such that $\Re(f(z_{\omega}))<0$, una contradicción. Así, la primera parte de la declaración que se demuestre.

Para la segunda parte de la pregunta, sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder. La instalación es muy similar a las condiciones de Schwartz' Lexema o el de Schwartz-Pick Estimación, de modo que traté de analizar $g(z)=f(z)-1$, lamentablemente sin éxito. Apreciamos su opinión!

Answer 1

Considere el mapeo$$T:w \mapsto \frac{w-1}{w+1} $$ which maps the half plane $ \ Re w> 0$ conformally onto the unit disk. The composition $$g=T \circ \frac{1}{f} $$ maps the unit disk into itself, and it fixes zero. Thus according to Schwarz' lemma, for all $ z$ in the unit disk $$|g(z)| \leq |z| $$ which means $$\left| \frac{1/f(z)-1}{1/f(z)+1} \right| \leq |z|. $$ Using the triangle inequality (as well as the reverse version) we also have $$\frac{1-|1/f(z)|}{1+|1/f(z)|} \leq |z| ,$ $ y reorganizar esto produce el resultado.

Answer 2

Deje $\phi(z)={1+z\over 1-z}$, que se asigna a la unidad de disco $D$ conformemente a la mitad derecha del plano con $0\mapsto 1$. El uso de Schwarz' lema en el mapa $g(z)=(\phi^{-1}\circ f)(z)$ conseguir $|g(z)|\leq |z|$ todos los $z\in D$.

Ahora trate de averiguar lo $\phi$ a un disco de $D_r=\{z\in D : |z|<r\}$ para un determinado $0<r<1$. Recordar que cualquier transformación de Möbius mapas de líneas y círculos con líneas y círculos. Desde $\phi$ mapas de la real eje para el eje real, $\phi(D_r)$ es un disco en la mitad derecha del plano, que es atravesada por el segmento de la línea de $\phi((-r,r))=\bigl(\phi(-r),\phi(r)\bigr)=\bigl({1-r\over 1+r},{1+r\over 1-r}\bigr)$. Este disco está contenida en el disco con centro en $0$ y un radio igual a $\phi(r)={1+r\over 1-r}$.

De ello se sigue que si $|z|<r$$|f(z)|<{1+r\over 1-r}$. Dejando $r\to|z|$, obtenemos el resultado deseado.