Hatcher - representaciones simplicial y cociente de esferas

Question

Estoy leyendo el capítulo 2 de Hatcher topología algebraica texto. En ella, él hace las siguientes dos afirmaciones:

1) Quotienting $D^n$ $\partial D^n$ produce un espacio homeomórficos a $S^n$.

2) Podemos crear un complejo simplicial homeomórficos a $S^n$ tomando dos copias de $\triangle^n$ y la identificación correspondiente para cada par de vértices a un solo punto (y, por tanto, la identificación de las correspondientes aristas).

Estos dos se parecen intuitivamente claro para mí en dimensiones bajas. Por ejemplo, para la segunda parte, la toma de dos segmentos de línea y pegado entre sí en sus extremos produce un círculo. Sin embargo, no veo cómo probar estas declaraciones de rigor. Traté de encontrar explícita homeomorphisms a $S^n$, pero no pudo.

Estos parece que los hechos básicos, pero no pude encontrar justificaciones en el capítulo 0, o lo que he leído en el capítulo 2. Agradecería a prueba de balas, pruebas rigurosas, o indicaciones de cómo escribir. La mitad del horno argumentos con los que estoy saliendo con bastante handwavey.

Answer 1

Por rigurosas pruebas, tendrá que recordar su punto-conjunto de topología:

1) Considerar el mapa de $\phi:D^n \rightarrow S^n$ que "envuelve" el disco alrededor de la esfera. Si utiliza las definiciones estándar: $D^n = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}\mid \|\mathbf{x}\| \leq 1\}$, e $S^n = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n+1}\mid \|\mathbf{x}\| = 1\}$, se puede construir a $\phi$ explícitamente:

$$\phi(\mathbf{x}) = (2(1 - \|\mathbf{x}\|^2)^{1/2}\mathbf{x},1 - 2\|\mathbf{x}\|^2)$$

Ahora bien, es claro que $\phi$ es continua, y es simple comprobar que $\phi$ ¿ en realidad mapa de $D^n$ surjectively en $S^n$, y es inyectiva, excepto que se envía toda la frontera a un punto de la esfera. Así, la última cosa que usted necesita saber es que el $\phi$ es un cociente de mapa. Pero esto es fácil, ya que todos cerrados mapas de coeficiente de mapas, y todo el continuo de los mapas de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff están cerrados. A continuación, $D^n$ es compacto, $S^n$ es Hausdorff, $\phi$ es continua, y listo.

2) que Usted necesita para la construcción de dos mapas de la norma compleja $\Delta^n$ en la esfera de la $S^n$. En primer lugar, obtener una homeomorphism $\phi:\Delta^n \rightarrow D^n$ "redondeo de los bordes". Ahora, hay un par de maneras de hacer esto de manera concreta, voy a dejar que la figura de uno de. Una vez que tienes eso, tienes dos incrustaciones de $D^n$ a de la esfera: la asignación a la mitad superior $i_U$ y la mitad inferior $i_L$:

$$i_U(\mathbf{x}) = (\mathbf{x},\sqrt{1 - \|\mathbf{x}\|^2})$$

$$i_L(\mathbf{x}) = (\mathbf{x},-\sqrt{1 - \|\mathbf{x}\|^2})$$

Ahora esto le da un mapa:

$$\Delta^n \sqcup \Delta^n \rightarrow D^n \sqcup D^n \rightarrow S^n$$

Donde utilizamos $\phi$ el primer tiempo, y $i_U,i_L$ en los dos componentes en el segundo mapa. La clave aquí es que tanto $i_U$ $i_L$ está de acuerdo sobre el límite de $D^n$, y estos se corresponden (en $\phi$) para los puntos/bordes/etc. de $\Delta^n$ que estábamos tratando de identificar!

Dime si quieres más aclaraciones.