Suma de la serie recurrente

Question

Que $\langle a_n \rangle$ ser una secuencia recursiva dada por $a_1>2$ y

$a_{n+1}=a_n^2-2$ $n \in \mathbb N$

Muestran que

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_1a_2\cdots a_n} = \frac{a_1-\sqrt{a_1^2-4}}{2}$

He llegado a este paso:

$\frac{1}{a_1a_2a_3\cdots a_n}=\frac{1}{2} (\frac{a_n}{a_1a_2\cdots a_n-1} -\frac{a_n-1}{a_1a_2\cdots a_n})$

Pero no soy capaz de obtener la expresión final. Por favor me ayude a obtenerlo. Gracias por la ayuda por adelantado.

Answer 1

Aviso la función de $x \mapsto x^2 - 2$ enviar$(2,\infty)$$(2,\infty)$.

Inicio de $a_1 > 2$, es fácil ver $a_n > 2$ todos los $n$.

Para cada una de las $n$, escoja una $x_n > 1$ tal que $a_n = x_n + \frac{1}{x_n}$, la recurrencia de la relación se convierte en

$$x_{n+1} + \frac{1}{x_{n+1}} = \left(x_n + \frac{1}{x_n}\right)^2 - 2 = x_{n}^2 + \frac{1}{x_{n}^2}\quad\implica\quad x_{n+1} = x_n^2$$

Deje $\lambda = x_1$. Resolver sobre la recurrencia de la relación nos da $$x_n = \lambda^{2^{n-1}}\quad \implica\quad a_n = \lambda^{2^{n-1}} + \lambda^{-2^{n-1}} = \frac{\lambda^{2^n} - \lambda^{-2^n}}{\lambda^{2^{n-1}} - \lambda^{-2^{n-1}}} $$ Los sumandos en la suma son telescópicos de productos.

$$\begin{align}\prod_{k=1}^n \frac{1}{a_k} &= \prod_{k=1}^n \frac{\lambda^{2^{k-1}} - \lambda^{-2^{k-1}}}{\lambda^{2^{k}} - \lambda^{-2^k}} = \frac{\lambda - \lambda^{-1}}{\lambda^{2^n} - \lambda^{-2^n}}\\ &= \frac{\lambda^2-1}{\lambda}\frac{\lambda^{2^n}}{(\lambda^{2^n})^2 - 1} = \frac{\lambda^2-1}{\lambda}\left[\frac{1}{\lambda^{2^n}-1} - \frac{1}{\lambda^{2^{n+1}} - 1}\right] \end{align} $$

La suma en sí es también una telescópica. Al final, hemos

$$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{1}{a_k} &= \frac{\lambda^2-1}{\lambda} \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\lambda^{2^n}-1} - \frac{1}{\lambda^{2^{n+1}} - 1}\right] = \frac{1}{\lambda}\\ &= \frac12\left( (\lambda + \lambda^{-1}) - (\lambda - \lambda^{-1}) \right) = \frac12\left( (\lambda + \lambda^{-1}) - \sqrt{(\lambda + \lambda^{-1})^2 - 4} \right)\\ &= \frac{a_1 - \sqrt{a_1^2-4}}{2} \end{align} $$

Answer 2

Que $P_n = a_1 a_2 \cdots a_n$ y que $bn = a{n+1}/P_n$.

De la repetición, tenga en cuenta que $$a_{n+1} - 2 = {a_n}^2 - 4 \implies an + 2 = \frac{a{n+1} - 2}{a_n - 2},$$ hence we have the telescoping product $% $ ${Pn}^2 = \prod{k=2}^{n+1} (ak+2) = \prod{k=2}^{n+1} \frac{a_{k+1} - 2}{ak - 2} = \frac{a{n+2} - 2}{a_2 - 2}$

Sigue %#% $ #%

A continuación, tenga en cuenta que $${b_n}^2 = (a2 - 2) \frac{{a{n+1}}^2}{a_{n+2} - 2} = (a2 - 2) \frac{a{n+2} + 2}{a{n+2} - 2} \implies \lim{n\to\infty} b_n = \sqrt{a_2 - 2} = \sqrt{{a1}^2 - 4}$$$b{k-1} - b_{k} = \frac{{a_k}^2}{Pk} - \frac{a{k+1}}{P_k} = \frac{2}{Pn} \implies 2\sum{k=2}^{n} \frac{1}{P_k} = b_1 - b_n $% $ $ $

Concluimos %#% $ #%