¿De dónde proceden las fórmulas de las series aritméticas y geométricas? ¿Fue su descubrimiento una casualidad?

Question

Estaba leyendo el primer capítulo de "What is Mathematics" de Courant y Robbins, y hay una sección sobre la inducción matemática en la que los autores repasan las pruebas de la fórmula de la serie aritmética/geométrica (como se demuestran inductivamente).

Reconociendo que estas pruebas son más bien una verificación (en la página 15 se menciona que en algunos casos una "prueba no da ninguna indicación de cómo se llegó a esta fórmula en primer lugar"), muestran cómo se pueden derivar jugando con las sumas y sus términos. Por ejemplo, la fórmula de la serie aritmética para los primeros n enteros se puede encontrar como este pero no se menciona por qué alguien trataría de resumir estas "sumas" (perdón por ser repetitivo) con sus términos reordenados de esa manera. Lo mismo para la serie geométrica uno (ver aquí ), donde se restan.

En resumen, mi pregunta es: ¿hay alguna otra explicación para el descubrimiento de estas fórmulas? No creo que haya sido pura suerte. ¿A quién se atribuye su creación? ¿Hay alguna forma de conocer su origen?

Gracias de antemano por la ayuda :)

Answer 1

Aunque otros sugieren que esto se remonta a los trabajos de Euclides (lo que dejaría para otra respuesta si alguien tiene más información al respecto), hay varias fuentes que sugieren que las series aritméticas y geométricas y posiblemente también algunas fórmulas/procedimientos para sumarlas ya eran conocidas por los egipcios en algún momento alrededor de $1650$ BC. Aunque ciertamente se considera una especulación hasta cierto punto, pensé que vale la pena mencionarlo (y es demasiado corto para un comentario).

Según Expansiones y asintótica para la estadística (Chapman & Hall/CRC Monographs on Statistics & Applied Probability) , página 1:

Por ejemplo, los antiguos egipcios trabajaban con series geométricas en problemas prácticos de particiones. La evidencia de esto se encuentra en el papiro Rhind, que está fechado en $1650$ BCE. Problema $64$ de ese papiro dice lo siguiente.

Dividir diez heqats de cebada entre diez hombres de manera que la diferencia común sea un octavo de heqat de cebada.

Dicho en términos más modernos, este problema nos pide que dividamos diez heqats en la serie aritmética $$10=a+\left(a+\frac{1}{8}\right)+\left(a+\frac{2}{8}\right)+\dots+\left(a+\frac{9}{8}\right).$$ Es decir, para encontrar el valor de $a$ en esta partición. La forma más sencilla de resolver este problema es utilizar una fórmula para la suma de una serie aritmética finita.

Un estudiante de un curso moderno de introducción a la probabilidad tiene que hacer prácticamente lo mismo cuando se le pide que calcule la constante de normalización de una función de probabilidad de una forma determinada. Si observamos las soluciones a este tipo de problemas en el papiro Rhind, veremos que los antiguos egipcios entendían bien la fórmula estándar para las series finitas simples.

Para las series geométricas existe, por ejemplo, el siguiente problema según Las matemáticas en el Antiguo Egipto: Una historia contextual , Página $79$ - $80$ :

Un ejemplo de ello es el número $79$ del papiro Rhind: \begin{array} \text{}\\ \text{The contents of a house. }& &\text{houses:} 7& \\ .& 2801 & \text{cats:} 49\\ 2& 5602 & \text{mice:} 343\\ 4& 11204 & \text{grain:} 2301\\ \text{Total:}& 19607 & \text{kernels:} 16807 \\ & & \text{Total:} 19607 \\ \end{array}

Esto se suele interpretar como el siguiente problema matemático: Hay $7$ casas, cada casa contiene $7$ gatos, cada gato ha comido $7$ ratones, cada ratón ha comido $7$ halms de grano, cada halm de grano contenía $7$ granos. ¿Cuál es la suma de todos ellos? El texto completo de la fuente consiste en el título seguido de un cálculo (columna izquierda de la traducción anterior) y una lista de los elementos individuales y sus números (columna derecha de la traducción anterior). El cálculo es la multiplicación de $7$ veces $2801$ que puede explicarse como un método alternativo para determinar el total solicitado. $^{41}$

Sin embargo, la nota a pie de página de la misma página añade:

Este problema es otro ejemplo en el que las matemáticas modernas han oscurecido el juicio histórico de los estudiosos anteriores. Hoy en día, interpretaríamos este problema como un ejemplo de serie geométrica, que calculamos mediante la fórmula $$S=a\frac{r^n-1}{r-1},$$ que para los valores numéricos de este problema sería $$S=7\frac{7^5-1}{7-1}=7\frac{16806}{6}=7\times 2801.$$ Partiendo de la posibilidad de que la fórmula pueda ser calculada de forma que resulte la multiplicación indicada en el texto del papiro Rhind, no. $79$ Se ha afirmado que el escriba egipcio conocía la serie geométrica y esta fórmula para calcularla. Utilizando dos de los criterios que fueron establecidos por Eleanor Robson para evaluar un texto matemático antiguo, es decir, sensibilidad histórica y coherencia cultural Por el momento, se pueden excluir las especulaciones de este tipo. No hay ninguna prueba en todo el corpus hierático del uso de un procedimiento "equivalente" a esta fórmula.

Así que probablemente nunca lo sabremos con certeza, pero al menos sabemos que los egipcios jugaban con algo que hoy llamamos aritmética y series geométricas.

Answer 2

Para mí la pregunta (sobre la fórmula de las series geométricas) no era por qué se restan, sino primero por qué se multiplican. Finalmente lo he conseguido, gracias a esta explicación en particular en el artículo de Wikipedia.

Si se multiplica la serie por (1-r) puedes tirar todos los términos excepto el primero, y añadirás un término más (r^n) . En este (1-r) "uno le ofrece el mismo conjunto de términos y '-r' da casi el mismo conjunto para reducir el primer conjunto. Todos los términos de estas dos filas son pares, excepto el primero y el último. Entonces hay que dividir por (1-r) para mantener la igualdad, y ¡voilá!

Lo siento, puede que sea obvio, pero para mí fue una revelación. He leído varias explicaciones y sólo ésta me ha servido. Da una pista de cómo se le ocurrió al inventor. (Y lo siento por mi inglés).