De existencia de subespacio invariante de operador lineal continuo en Banach space tal que $\{S(x): S \in (T)'\}=X$ $x$

Question

Que $X$ ser un espacio de Banach, $T$ ser un operador lineal continuo en $X$ tal que $\exists x \in X$ tal que ${S(x): S \in (T)'}=X$, donde es el commutant de $(T)'$ $T$, entonces puedo ver que el espacio sea null de un elemento distinto de cero de $(T)'$ es distinto de cero, o bien la gama de cada noninvertib le elemento $(T)'$ no es denso; ¿mi pregunta es, sigue que $T$ tiene un subespacio invariante?

(Aquí, $(T)':={S \in \mathcal B(X) : S\circ T=T\circ S}$ es decir, el conjunto de confina mapas lineales $X$ que conmuta con $T$)

Answer 1

Tenga en cuenta que si usted tiene un elemento $S$ de la commutant no triviales kernel (el significado del núcleo no $0$ o de todo el espacio), entonces el núcleo de $S$ es no trivial de la subespacio invariante, si $y \in \ker(S)$:

$$(S\circ T)(y)=(T \circ S)(y)=0$$

y $T(y) \in \ker(S)$.

Si usted tiene un elemento $S$ de la commutant donde el rango es ni el espacio ni $0$, entonces el rango de a $S$ es también invariante, vamos a $z=S(y)$:

$$T(z)=(T\circ S)(y)=(S\circ T)(y)$$

y $T(z)$ se encuentra en el rango de $S$.

Si desea cerrado subespacios invariantes, el núcleo de un continuo lineal mapa está siempre cerrado (siendo pre-imagen de $\{0\}$), y el cierre de un invariante de la sub-espacio es también invariante. Así que si usted no tiene una densa subespacio invariante, a continuación, el cierre no va a ser todo el espacio y también invariante.