Si $\gcd(a,b)=1$, $\gcd(a^2,b^2)=1$

Question

Probar o refutar ' si $\gcd(a,b)=1$, $\gcd(a^2,b^2)=1$, $a,b\not= 0$'

Tengo que probar esta afirmación. Creo que es cierto y también lo contrario es cierto.

Tomé algunos ejemplos como $\gcd(2,5)=1$ y $\gcd(4,25)=1$...

¿Pero cómo puedo demostrarlo? Sé que $1=ax+by$ $4x,y\in \mathbb{Z}$... Pero no estoy seguro

Cómo ir de allí...

¿Ninguna pista?

Answer 1

Anote la facturización primera de $a^2$ $a,$ y del mismo modo $b^2.$

Answer 2

Sugerencia: Si $p$ es un primer $p\mid a^{2}\iff p\mid a$

Answer 3

Utilizar la descomposición en potencias de primos. Si gcd $(a,b)=1$, no tienen primos comunes su descomposición. Ahora, cuadrar un número no cambia los números primos en la descomposición, a su exponente. Si $$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$$then $$n^2=p_1^{2a_1}p_2^{2a_2}...p_k^{2a_k}$ $ por lo tanto el MCD $(a,b)=1$ si y sólo si MCD $(a^2,b^2)=1$

Answer 4

Aquí utilizo la notación abreviada $(x,y):=\gcd(x,y)$.

$$\begin{align}1-ax&=by\ 1-2ax+a^2x^2&=b^2y^2\ 1-2ax&=a^2(-x^2)+b^2y^2 \end {Alinee el} $$

Tenga en cuenta que podemos escribir $2a^2(-x^2)+(-ax)(1-2ax)=-ax$, $(-ax,1-2ax)=1$. Desde $(-a^2x^2,1-2ax)$ divide cualquier combinación lineal de los dos términos dentro del gcd, $(-a^2x^2,1-2ax)=1$. Del mismo modo, $$(-a^2x^2,b^2y^2)|1-2ax\Rightarrow (-a^2x^2,b^2y^2)|(1-2ax,-a^2x^2)\Rightarrow(-a^2x^2,b^2y^2)=1$ $