Yo, por mi parte, prefiero las variantes deletreadas, al menos cuando hago análisis: $$\mathop{\mathrm{grad}} f, \quad \mathop{\mathrm{div}} \mathbf F, \quad \mathop{\mathrm{rot}} \mathbf F $$ La variante $\nabla f$ para el degradado está bien, pero me gusta la coherencia, y utilizar el mismo "estilo" subraya la conexión entre las tres operaciones (más adelante). Sin embargo, a veces, sobre todo cuando hago física, necesito volver al "físico $\nabla$ notación" porque algunas fórmulas parecen mucho más familiares de esa manera, por ejemplo $$\nabla \cdot \mathbf E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$ Para el laplaciano, en cambio, estoy muy a favor de la notación $\Delta f$ ya que me resulta fácil confundir $\nabla^2 f$ con $\nabla f$ o el bilaplaciano $\Delta^2 f$ a primera vista. Además, el gran triángulo es algo específico del laplaciano, lo que lo hace reconocible para mí: grita "ecuación del calor". Lo mismo para la dalembertiana $\square f$ (que escribo a la manera del matemático, sin el $^2$ ). $$\Delta u = \beta \frac{\partial u}{\partial t}, \qquad \square u = \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \Delta u = 0 $$ Todo cambia cuando tengo que hacer tensores en los colectores. Todos los operadores de derivada de primer orden son instancias de la derivada exterior sobre formas (de diferente grado), así que es mejor mantenerlo simple: $$F = F_{\mu\nu} \mathop{}\mathrm{d}x^{\mu}\wedge \mathop{}\mathrm{d} x^\nu = B + E \wedge \mathop{}\mathrm d x^0, \qquad \mathrm d F = 0 $$ Sin embargo, si se quiere actuar sobre campos vectoriales o escalares en variedades tridimensionales específicamente, se pueden "redefinir" las operaciones diferenciales con la estrella de Hodge, la derivada externa y los isomorfismos musicales: $$\mathop{\mathrm{grad}} f = (\mathrm d f)^\sharp, \quad \mathop{\mathrm{div}} X = \star \mathrm d{\star}(X^\flat), \quad \mathop{\mathrm{rot}} X= \left(\star \mathrm d (X^\flat) \right)^\sharp$$ Incluso puedes redefinir el laplaciano como $\mathop{\mathrm{grad}}(\mathop{\mathrm{div}})$ : $$\Delta f = \star \mathrm d {\star} \mathrm d f$$ Además, en el contexto de la geometría diferencial prefiero denotar las derivadas parciales real-analíticas estándar como $\partial_k$ , dejando el $\partial / \partial x^k$ para ser vectores abstractos en una colector con respecto a una carta $x$ .
Bonificación. A continuación se muestra un diagrama de la acción de los operadores diferenciales de primer orden sobre $p$ -forma sobre un $3$ -de las dimensiones de la colmena $M$ : ![enter image description here]()
Aquí $\Omega^p$ denota el espacio de $p$ -forma $\Omega^p(M)$ , mientras que $\Gamma = \Gamma(TM)$ es el espacio de las secciones suaves del haz tangente, es decir, los campos vectoriales. $0$ es sólo el espacio $\Omega^4= \Omega^5 = \dots$ que es el espacio vectorial trivial.
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Considero que las anotaciones textuales describen más bien una concepto mientras que las anotaciones con nabla ( $\nabla$ ) son fórmulas para calcularlas.