Patrón posible de expresiones trigonométricas

Question

Al resolver problemas trigonométricos, noté un patrón posible que me recordó a los números de Fibonacci y al triángulo de Pascal. Así que traté de encontrar el siguiente "elemento" de este patrón (exponente de 8 grados) y no lo logré. Entonces alguien puede decirme si hay un patrón o simplemente "coincidencia". Patrón posible:

$\sin^2x + \cos^2x = 1 $

$\sin^4x + \cos^4x = 1 - 2\sin^2x\cos^2x$

$\sin^6x + \cos^6x = 1 - 3\sin^2x\cos^2x$

Answer 1

Hay un patrón, pero no creo que es tan simple como lo que los tres primeros términos podría sugerir.

Me deja usar la abreviatura $s := \sin x$$c := \cos x$. En esta notación, tenemos $$ (s^6 + c^6) = (s^6 + c^6)(s^2 + c^2) = (s^8 + c^8) + s^2c^2(s^4+c^4). $$ Ahora conectar las expresiones obtenidas para $s^6+c^6$$s^4+c^4$, obtenemos $$ 1 - 3s^2c^2 = (s^8+c^8)+s^2c^2(1-2s^2c^2), $$ o: $$ s^8+ c^8 = 1 - 4s^2c^2 + 2^4c^4. $$

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Alternativa de derivación: Desde $s^2 + c^2 = 1$, vamos a $s^2 = \frac{1}{2} + u$ $c^2 = \frac12 - u$ algunos $u$. Entonces $$ s^2 c^2 = \frac14 - u^2. \etiqueta{$\dagger$} $$ Ahora el cálculo de $s^8+c^8$ es sencillo, si un poco implicado: $$ \begin{align*} s^8 + c^8 &= \left(\frac12 + u\right)^4 + \left(\frac12 - u\right)^4 \\\\ &= 2 \left( \frac{1}{2^4} + u^4 + 6 \cdot \frac{1}{2^2} \cdot u^2 \right) \\\\ &= \frac{1}{8} +2 u^4 + 3 u^2 \\\\ &\stackrel{(\dagger)}{=} \frac{1}{8} +2 \left( \frac14 - s^2 c^2 \right)^2 + 3 \left( \frac14 - s^2 c^2 \right) \\\\ &= \frac18 + 2\cdot \frac{1}{4^2} + \frac34 +2 s^4 c^4 - 2 \cdot 2 \cdot \frac14 \cdot s^2 c^2 - 3 s^2 c^2 \\\\ &= 1 + 2 s^4 c^4 - 4s^2 c^2 . \end{align*} $$

Aunque esto parece más largo, el segundo método se generaliza fácilmente para $s^{2n}+c^{2n}$ todos los $n$.

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¿Qué $\sin^{2n} x + \cos^{2n} x$?

Es un estándar de hecho de que cualquier polinomio simétrico en $\lambda_1$ $\lambda_2$ puede ser expresada en términos de la primaria simétrica polinomios, que, en este caso, es sólo $\lambda_1 + \lambda_2$$\lambda_1 \lambda_2$. Ahora para$\lambda_1 = s^2 = \sin^2 x$$\lambda_2 = c^2 = \cos^2 x$,$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$. Es decir, cada polinomio simétrico en $s = \sin x$ $c = \cos x$ con la restricción de que cada término tiene un grado en ambas variables se puede expresar como un polinomio en $\sin x\cos x$.

Para el caso especial de $s^{2n} + c^{2n}$, ya he explicado cómo obtener una representación: $$ s^{2n} + c^{2n} = \left( \frac12 + u \right)^n + \left( \frac12 - u \right)^n. $$ La expansión utilizando el teorema del binomio, nos encontramos con que todos los extraños poderes de $x$ cancelar y los poderes agregar para arriba, así que tenemos una incluso polinomio en $x$. El grado de este polinomio es exactamente $2 \lfloor n/2 \rfloor$.

En el siguiente paso, vamos a reemplazar $u^2$$\frac14 - s^2c^2$, por lo que volvemos a obtener un aún polinomio-esta vez en $s \cdot c$ -- el mismo grado, es decir,$2 \lfloor n/2 \rfloor$. En otras palabras, obtenemos un polinomio en $s^2 c^2$ grado $\lfloor n / 2 \rfloor$. (Sin embargo, el real de los polinomios de sí mismos no parecen ser muy interesante.)

En general, uno no debe esperar mucho más de la simplificación. Como Henning las notas de abajo, para$n =2$$n=3$, la expresión $\lfloor n / 2 \rfloor$ es sólo $1$, que es por eso que tenemos un polinomio de que contiene sólo un término constante y un $\sin^2 x \cos^2 x$ plazo. Esta bastante patrón desaparece incluso para $n=4$.