¿El orden de una ecuación diferencial es necesariamente igual al número de constantes arbitrarias en la solución general?

Question

Considere la ecuación diferencial$(y')^2+3y'+2=0$. La solución general parece ser$(y+x+c1)(y+2x+c2)=0$ con dos constantes arbitrarias efectivas. Pero el orden de la ecuación es 1.

¿Se puede evitar esta discrepancia? ¿O hay alguna cláusula en la ley que relaciona el orden con el número de constantes que me falta?

Answer 1

Su ecuación diferencial es efectivamente dos ecuaciones diferenciales:$y' = -1$ y$y' = 2$. Cada uno tiene su propia solución general con una constante arbitraria:$y = -x + c$ para el primero,$y =2x+c$ para el segundo. La regla de que el número de constantes arbitrarias es igual a la orden se aplica a ecuaciones diferenciales donde$y^{(n)}$ se expresa como una función de$x, y, y', \ldots, y^{(n-1)}$.

Answer 2

Dejar $u=y'$. Entonces$$y'^2+3y'+2=0\implies u^2+3u+2=0\implies (u+1)(u+2)=0$$ So, you have either $$y'=-1\implies y=-x+c_1$$ $$y'=-2\implies y=-2x+c_2$$ But the differential equation is of first order : so, the is a single "integration" constant (this means that $ c_1 = c_2 = c $)