Comprensión del intercambio de límites de la integral

Question

Por favor, ayúdame a entender cambiar los límites de una integral mejor.

Aprendí %#% $ #%

Ahora cuando trato de visualizar esto, tomar $$\int{a}^{b} f(x) dx = -\int{b}^{a} f(x) dx$ % por ejemplo, $\sin(x)$y $\int{\pi}^{2\pi} \sin(x) dx$ ambas dan respuesta $- \int{2\pi}^{\pi} \sin(x) dx$, de alguna manera tiene sentido.

Pero cuando trato de visualizar esto, si miro esta parte $-2$ (sin el signo de menos), me da una respuesta a ser 2, pero visualmente cuando voy de $\int_{2\pi}^{\pi} \sin(x) dx$ $2\pi$, la zona de $\pi$ en eje x. ¿Cómo interpreto esto?

Answer 1

Aquí es un poco intuitivo explicación.

No es este concepto de firmado/orientada a la zona. En el Euclidiana lugar, si usted está recorriendo el contorno (es que el derecho de palabra en inglés?) de la figura en sentido antihorario orden, se considera positivo, creo. De lo contrario, se considera negativo.

Esto es más que simplemente ilustra a la hora de calcular el área del triángulo.

El Área Del Triángulo

Marque esta parte:

"El (firmado) el área de un plano de triángulo especificado por sus vértices..."

Así que si usted visita los vértices en un orden diferente (w.r.t. las agujas del reloj o en sentido contrario), obtendrá un signo diferente para el área de un triángulo.

Así que, en su caso, usted está recorriendo el contorno en una diferente (en sentido antihorario) de la orden cuando se mira desde $2\pi$$\pi$.

Answer 2

Supongo que tiene más sentido utilizar el teorema fundamental del cálculo.

En este caso

$$\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\ dx=-\cos x|_{\pi}^{2\pi}=-\cos 2\pi+\cos \pi=-1-1=-2$$ y

$$\int_{2\pi}^{\pi}\sin x\ dx=-\cos x|_{2\pi}^{\pi}=-\cos{\pi}+\cos 2\pi=1+1=2\text{.}$$

Como era de esperar, tienen el mismo valor pero de signo opuesto. No estoy seguro de que hay una manera de visualizar esto en una manera significativa. De la manera que he visto, las integrales son técnicamente se define sólo con los límites de $a$ $b$al $a\le b$. En algún punto, resulta útil para definir una integral de $b$ $a$como el negativo de la integral de$a$$b$.

Answer 3

Permítanme, sin fórmulas.

Imagina que la integración es la puerta corredera del volumen interior de un mueble. De izquierda a derecha ( $a$ $b$), que la abra. De derecha a izquierda, cerca de ( $b$ $a$). Si realiza una operación, luego el otro, se anulan a sí mismos. Por lo tanto, deben ser de signo opuesto.

Lo mismo sucede cuando usted toma un paso a la derecha, luego a la izquierda. No importa que usted tiene la "ilusión" que ha realizado el doble de la de trabajo, que están de vuelta al punto de $0$.

Answer 4

Esto puede verse mejor en la definición de una integral.

Por ejemplo podemos ver %#% $ #%

Por el término de $$-\int{2\pi}^{\pi} sin(x)dx = \int{2\pi}^{\pi} -sin(x)dx= \lim{n\rightarrow \infty}\sum{i=1}^{n}sin(x_i)(-\Delta x)$ es negativo, es decir, se están moviendo de derecho a izquierda y así que si no tenemos en cuenta el signo negativo, su respuesta sería un error.