Probabilidad de una suma mínima de valores de cartas al extraer cartas de una baraja personalizada

Question

He intentado buscar una respuesta, pero no sabía qué terminología utilizar.

Supongamos que tengo una baraja de cartas, formada por $n_1$ unos, $n_2$ dos, etc. (donde cada $n_x$ puede ser un número diferente).

Dibujo $k$ cartas de la baraja, y quiero saber la probabilidad de que sumen al menos $x$ .

Estoy buscando una fórmula de uso general que pueda utilizar para diferentes cantidades y valores de $n$ s, y diferentes valores de $k$ y $x$ .

Por ejemplo:

Tengo una baraja de 7 unos, 4 doses, 13 treses y 9 cuatros. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 6 cartas y que sumen al menos 13?

Tengo conocimientos básicos de probabilidad, pero este problema tiene demasiadas variables para que pueda resolverlo. Una explicación de la solución sería muy bienvenida, si alguien está dispuesto y es capaz.

Answer 1

[Tenga en cuenta que esto no incluye el número de sorteos].

Supongamos que tenemos una baraja de cartas de valor $v$ (mínimo 1 y máximo n) y los múltiplos de cada tarjeta son $m_v$ . Las formas de selección de cartas para que su suma sea $s$ son iguales que el coeficiente de $x^s$ en: $$\prod_{v=1}^n\left(\sum_{k=1}^{m_v}x^{kv}\right)$$ En su caso, es igual al coeficiente de $x^{13}$ en: $$\prod_{v=1}^{4}\left(\large\sum_{k=0,0,0,0}^{7,4,13,9}x^{kv}\right)\\ =(x^8-1)(x^5-1)(x^{14}-1)(x^{10}-1)(x-1)^{-4}$$ Eso es igual a: $$\huge30$$

Answer 2

Estoy casi seguro de que la respuesta a una pregunta tan general no será una simple fórmula analítica, pero puede calcularse numéricamente.

Primero empezamos con una afirmación simple: si se eligen m objetos entre n, y los objetos pueden ser de 2 tipos (por ejemplo, blanco y negro - que haya n_b objetos negros), entonces la probabilidad de que el número de objetos negros entre la selección $m_b$ es $$\binom{m}{m_b}\binom{n-m}{n_b - m_b} / \binom{n}{n_b} $$

He utilizado esta fórmula para aplicar el algoritmo siguiente. La idea es que iteramos sobre denominaciones, y para cada denominación condicionamos a cuántas cartas de esta denominación (objetos negros) fueron seleccionadas entre cualquier número de cartas que queden por seleccionar, dado el número total de cartas que quedan en la baraja y el número total de cartas de esta denominación.

Parece que, para los números que usted da, la respuesta a su pregunta es 0.674

El código está más abajo. Lo he comprobado en algunas composiciones de baraja más simples, y parece dar un resultado correcto, pero por favor, compruébalo tú mismo. Está escrito en Python, usted puede obtener de forma gratuita y ejecutar este código si lo necesita.

def binomialCoefficient(n, m):
    if (n-m) < m:
        return binomialCoefficient(n, n-m)
    result = 1.0
    for i in range(0, m): #0 inclusive, n+1 non inclusive
        result *= (n-i)
    for i in range(2, m+1): #m+1 inclusive, n+1 non inclusive
        result /= (i)
    return result

def probChooseQtyCardsGivenDenomination(qtyCardsDenomination, qtyCardsTotal, 
                                        qtySelectedDenomination, qtySelectedTotal): 
    return (binomialCoefficient(qtySelectedTotal, qtySelectedDenomination) 
           * binomialCoefficient(qtyCardsTotal - qtySelectedTotal, qtyCardsDenomination - qtySelectedDenomination)
           / binomialCoefficient(qtyCardsTotal, qtyCardsDenomination))

# we assume that deckDefinition starts with the biggest denomination
def findDistributionCards(deckDefinition, numberCardsToDraw):

    # initial value if howManyCardsRemain is the cards quantity
    totalNbCards = 0
    for _, cardsQuantity in deckDefinition:
        totalNbCards += cardsQuantity

    # while exploring the tree of possibilities, build an array (per level of tree)
    # which elements are, for each node at this level, 
    # 1. how many cards have already been drawn, 
    # 2. what is the sum of the points of these cards
    # 3. what is the probability to reach this node     
    nbDrawnCardsSoFar_sumValues_Probabilities = [[0, 0, 1.0]]
    for cardDenomination, qtyCardsDenomination in deckDefinition[:-1]: # -1 because we exclude the last element
        new_nbDrawnCardsSoFar_sumValues_Probabilities = []
        for nbDrawnCardsSoFar, sumValues, probability in nbDrawnCardsSoFar_sumValues_Probabilities:
            nbCardsRemainToDraw = numberCardsToDraw - nbDrawnCardsSoFar
            maxNbCanBeDrawn = min(qtyCardsDenomination, nbCardsRemainToDraw)
            for nbDrawnCardsOfThisDenomination in range(0, maxNbCanBeDrawn+1): # up to maxNbCanBeDrawn inclusive
                probToDrawThisNumberOfCards = probChooseQtyCardsGivenDenomination(
                                                    qtyCardsDenomination, totalNbCards, 
                                                    nbDrawnCardsOfThisDenomination, nbCardsRemainToDraw);
                new_nbDrawnCardsSoFar_sumValues_Probabilities.append([
                                                nbDrawnCardsSoFar + nbDrawnCardsOfThisDenomination, 
                                                sumValues + nbDrawnCardsOfThisDenomination * cardDenomination, 
                                                probability*probToDrawThisNumberOfCards]) 
        nbDrawnCardsSoFar_sumValues_Probabilities = new_nbDrawnCardsSoFar_sumValues_Probabilities
        totalNbCards -= qtyCardsDenomination

    # we rely on the fact that numberCardsToDraw < number of cards of the  last denomination
    resultDistribution = []
    last_denomination = deckDefinition[-1][0]
    for nbDrawnCardsSoFar, sumValues, probability in new_nbDrawnCardsSoFar_sumValues_Probabilities:        
        nbOfCardsOfTheLastDenomination = numberCardsToDraw - nbDrawnCardsSoFar
        resultDistribution.append([sumValues + last_denomination * nbOfCardsOfTheLastDenomination, probability])

    return resultDistribution    

if __name__ == '__main__':
    distribution = findDistributionCards(deckDefinition =  [[1, 4], [2, 4], [3, 4], [4, 4]], 
                                         numberCardsToDraw  = 2)
    cumulativeProbability = 0.0
    for sumValues, probability in distribution:
        if sumValues >= 8:
            cumulativeProbability += probability  

    print cumulativeProbability

    distribution = findDistributionCards(deckDefinition = [[1, 7], [2, 74], [3, 13], [4, 9]], 
                                         numberCardsToDraw  = 6)
    cumulativeProbability = 0.0
    for sumValues, probability in distribution:
        if sumValues >= 13:
            cumulativeProbability += probability
    print cumulativeProbability