Supongamos $G$ es un grupo de tal forma que cada subgrupo de $G$ es una característica de los subgrupos. ¿Significa esto que la $G$ es cíclico? Recuerdo haber leído que esto es cierto en el caso finito, ¿es eso cierto? Lo que sobre el caso infinito?
Respuestas
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Considerar la Prüfer $p$-grupo, $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$. Ya que cada apropiado subgrupo de $G$ es finito, y no hay uno, y sólo uno de los subgrupos de cada finito de orden $p^k$, cada subgrupo de $G$ es característico. Pero $G$ no es cíclico. (Es, por supuesto, quasicyclic: cada finitely generado subgrupo es cíclico).
Shinwari
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Arturo ha proferido la Prüfer $p$-grupo. Sin embargo, esto es infinitamente generado, lo que nos deja con la siguiente pregunta:
¿Existe un finitely generado ejemplo?
Respuesta: No, No, no.
Prueba: Como ya se ha señalado, nuestro grupo no es necesariamente abelian, y es bien sabido que cada finitely generado abelian grupo es de la forma $\mathbb{Z}^n\times C_{m_1} \times\ldots\times C_{m_i}$ para algunos finito lista de números naturales $(n, m_1, \ldots, m_i)$ $n$ cero. Podemos suponer $n>0$ aquí, como estamos buscando una infinita ejemplo.
Tomar el dado de los generadores de $G$ en términos de su directa-de productos de descomposición, $G=\langle a_1, \ldots, a_n, b_{m_1}, \ldots, b_{m_i}\rangle$. Claramente el mapa de la cual se envía a $a_1$ $a_1c$ $c$algunos generador de otros de $a_1$, y mantiene todas las otras generador fijo es un automorphism de $G$, pero $\langle a_1\rangle\neq\langle a_1c\rangle$, de modo que no todos los subgrupos de $G$ es característico.
Por lo tanto, no puede ser generador de otros de $a_1$ $G=\mathbb{Z}$ es cíclico.
Tenemos, entonces, otra pregunta:
Si cada subgrupo de $G$ es característico, es $G$ locales cíclico?
No estoy seguro de la respuesta a esto, pero sospecho que es "sí".
