Álgebra simple de conjuntos "prueba"

Question

Sólo quería preguntar sobre esta igualdad

$A \cap B \cap C = (A \cap B) \cap (A \cap C)$

¿Se puede probar esto fácilmente utilizando la propiedad asociativa de los conjuntos qué estados?

$(A \cap B) \cap (A \cap C) = (A \cap A) \cap (B \cap C) = A \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C$

¿O no es una prueba matemática válida

Answer 1

Henno Brandsma te explica cómo escribir una prueba formal en su comentario:

$(A\cap B)\cap (A\cap C) =^{\mathcal A}\; A \cap (B \cap (A \cap C)) =^{\mathcal A}\; A \cap ((B \cap A) \cap C) =^{\mathcal C}\; A \cap ((A \cap B) \cap C) =^{\mathcal A}\; A \cap (A \cap (B \cap C) =^{\mathcal A}\; (A \cap A) \cap (B \cap C) =^{\mathcal I}\; A \cap (B \cap C)$

donde

$=^{\mathcal A}\;$ Aplicar la Ley Asociativa
$=^{\mathcal C}\;$ Aplicar la ley conmutativa
$=^{\mathcal I}\;$ Aplicar la Ley Idempotente

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Puede proporcionar más detalles en cada paso:

$\tag 1 X \cap (Y \cap Z)= (X \cap Y) \cap Z$

Aplicando (1) (de derecha a izquierda) con $X = A$ , $Y = B$ y $Z = A \cap C$ tenemos

$(A\cap B)\cap (A\cap C) = A \cap (B \cap (A \cap C))$

etc.

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También puedes proporcionar una prueba más corta si aceptas la afirmación de que, debido a la asociatividad y conmutatividad de la intersección de conjuntos, puedes simplemente "ignorar/colocar paréntesis y reordenar los conjuntos" a tu gusto:

$(A\cap B)\cap (A\cap C) = A \cap B \cap A \cap C =$

$\tag 1 A \cap A \cap B \cap C = (A \cap A) \cap B \cap C$

Por la Ley Idempotente, (1) es igual a $A \cap B \cap C$

Answer 2

Elementos $a$ de $A \cap B$ son elementos que aparecen en el conjunto $A$ así como en el conjunto $B$ , formalmente $a\in A \wedge a \in B$ .

Similary $a \in A \cap C => a \in A \wedge a \in C$ .

Ahora puedes hacer la misma declaración lógica para $(A \cap B) \cap (A \cap C)$ . Establecer $P = A \cap B$ y $Q = A \cap C$ y tienes

$a \in P \cap Q => (a \in P) \wedge (a \in Q) => (a \in A \wedge a \in B) \wedge (a \in A \wedge A \in C)$ .

En esta afirmación lógica, el enunciado $a \in A$ se produce doblemente (uno es sobrefluente), por lo tanto

$a \in P \cap Q => a \in A \wedge a \in B \wedge a \in C => a \in A \cap B \cap C$ .

En la última conclusión he vuelto a utilizar la definición de $\cap$ .

q.e.d.

Answer 3

$A\cap B\cap C = (A\cap B)\cap (A\cap C)$

Primer paso

$A\cap B\cap C \subset (A\cap B)\cap (A\cap C)$

$\forall x\in A\cap B\cap C \implies \left \lbrace \begin{array}l &x\in A \quad (1)\\\text{and}&\\&x\in B\quad (2)\\\text{and}&\\&x\in C \quad (3)\end{array}\right.$

$\left \lbrace\begin{array}l &(1) \;\text{and} \; (2) \implies x\in A\cap B \quad(4)\\\text{and}&\\&(1) \;\text{and} \; (3) \implies x\in A\cap C \quad(5)\end{array}\right.\quad (4) \;\text{and} \; (5)\implies x\in (A\cap B)\cap(A\cap C)$

Así que hemos demostrado $\boxed{A\cap B\cap C \subset (A\cap B)\cap (A\cap C)}$

Segundo paso

$A\cap B\cap C \supset (A\cap B)\cap (A\cap C)$

$\forall x\in (A\cap B)\cap (A\cap C) \implies ....$

Conclusión:

$ X\subset Y \quad \text{and} \quad X\supset Y \iff X=Y$

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De lo contrario:

$\begin{array}l(A\cap B)\cap (A\cap C)&=\;\left[A\cap (B\cap A)\right]\cap C\quad &\text{associative}\\&=\;\left[A\cap (A\cap B)\right]\cap C \quad &\text{commutative}\\&=\;(A\cap A)\cap (B\cap C) \quad &\text{associative}\\&=\;A\cap (B\cap C)\quad &A\cap A=A\\&=\;A\cap B\cap C\quad &\text{associative}\end{array}$