Integral de $\int \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx $

Question

$$\int \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx $ $ resolví la integral en esta manera: hacer la sustitución $x=\sin^2(u)$, entonces el $dx=2\sin(u)\cos(u)du$. Así que la integral se convierte ahora en $$\int \frac{2\sin(u)\cos(u)}{\sqrt{\sin^{2}(u)(1-\sin^{2}(u))}} du=\int 2 du=2u+C.$ $ luego sustituía en $u=\arcsin(\sqrt{x})$ obtener la solución de $$2\arcsin(\sqrt{x})+C.$ $ sin embargo cuando he escrito en este integral en Wolfram me dio este.

Mi pregunta es ¿se equivocan o es las dos formas equivalentes?

Answer 1

Primero de todo, nunca nos tenemos que preguntar si conseguimos una correcta antiderivada - porque podemos tomar la derivada de nuestra respuesta y a ver lo que tenemos: $$ \frac d{dx} \big( 2\sin^{-1}(\sqrt x) +C \big) = \frac2{\sqrt{1-(\sqrt x)^2}}\frac d{dx}\sqrt x = \frac2{\sqrt{1-x}} \frac1{2\sqrt x} = \frac1{\sqrt{x(1-x)}}. $$ Así que hizo lo correcto.

No hay otra manera de encontrar la antiderivada: completar el cuadrado en el interior de la raíz cuadrada para ver que $$ \frac1{\sqrt{x(1-x)}} = \frac1{\sqrt{1/4 - (x-1/2)^2}} = \frac2{\sqrt{1-(2x-1)^2}}. $$ Por lo tanto, mediante la sustitución de $u=2x-1$, \begin{align*} \int \frac1{\sqrt{x(1-x)}} \,dx = \int \frac2{\sqrt{1-(2x-1)^2}} \,dx &= \int \frac1{\sqrt{1-u^2}} \,du \\ &= \sin^{-1} u + C = \sin^{-1} (2x-1) + C. \end{align*} Esto también puede ser verificado por la diferenciación.

(Nota: es posible verificar directamente que $\sin^{-1}(2x-1)+\pi/2 = 2\sin^{-1}(\sqrt x)$, tomando el coseno de ambos lados, el uso de $\cos(\theta+\pi/2) = -\sin\theta$ a la izquierda y el del ángulo doble fórmula $\cos 2\theta = 1-2\sin^2\theta$ a la derecha. Muy cool!)

Answer 2

Poner $\displaystyle x = \frac{1}{2}+t$ y $dx = dt$

Así $\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x.(1-x)}}dx$ se convierte en

$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2^2}-t^2}}dt = \sin^{-1}(2t)+\mathbb{C} = \sin^{-1}\left(2x-1\right)+\mathbb{C}$