cómo evaluar el producto$\prod _{n=2}^\infty (1+ \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^6}+\cdots )$?

Question

Evaluando el producto infinito de$\prod _{n=2}^\infty (1+ \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^6}+\cdots )$. Por favor ayuda.

Answer 1

El producto es

ps

Answer 2

Paso$1$: tenga en cuenta que$$\prod_{n=2}^{\infty} \bigg(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}}\bigg) = \prod_{n=2}^{\infty} \frac{1}{1-\frac{1}{n^2}} = \prod_{n=2}^{\infty}\frac{n^2}{n^2-1}$ $

Paso$2$: use la inducción en$N$ para mostrar que$$\prod_{n=2}^N \frac{n^2}{n^2-1} = \frac{2N}{N+1}$ $

Paso 3: Concluya que$$\prod_{n=2}^{\infty} \frac{n^2}{n^2-1} = \lim_{N \to \infty} \frac{2N}{N+1} = 2$ $

Answer 3

El producto es$$P=\prod_{n\ge 2}\frac{1}{1-1/n^2}=\lim_{x\to 1}\frac{\pi x(1-x^2)}{\sin \pi x}=2$ $