Teorema de Baire y límites

Question

Dejemos que $f:[1,\infty) \longrightarrow \mathbb{R} $ función continua tal que $\forall x \geqslant 1$ tenemos $\lim_{n \longrightarrow \infty} f(nx)=0$ . Demostrar que $\lim_{y \longrightarrow \infty}f(y)=0$

Mi profesor me dio como pista utilizar el teorema de Baire.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Dejemos que $\epsilon>0$ .

Definimos $A_m=\{x \geqslant 1: \forall n \geqslant m ,|f(nx)| \leqslant \epsilon \}$

Dejemos que $x_k \in A_m$ y $x_k \longrightarrow x$

Entonces $\forall n \geqslant m$ y de la continuidad de $f$ tenemos $|f(nx)|= \lim_{k \longrightarrow \infty}|f(nx_k)| \leqslant \epsilon$

Así, $x \in A_m$ Así que cada $A_m$ está cerrado.

Ahora dejemos que $x \geqslant 1$ A partir de nuestra hipótesis $\lim_{n \longrightarrow \infty} f(nx)=0$ Por lo tanto $\exists m_0 \in \mathbb{N}$ tal que $\forall n \geqslant m_0,|f(nx)| \leqslant \epsilon$ ,

así $x \in A_{m_0}$ En otras palabras $[1,\infty)=\bigcup_{m=1}^{\infty}A_m$

También sabemos que $[1,\infty)$ es un espacio métrico completo con respecto a la métrica euclidiana de la recta real.

A partir del teorema de Baire existe un conjunto $A_m$ con interior no vacío.

En otras palabras, existe $[a,b] \subseteq A_m$ .

Si $x \in A_m$ entonces $|f(nx)| \leqslant \epsilon$ $\forall n \geqslant m$ .

¿Puede alguien ayudarme a proceder desde este punto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Ya casi lo tienes. Tenga en cuenta que para cualquier $k \ge \max(m, \lceil \frac{a}{b-a}\rceil)=M$ tenemos $bk\ge a(k+1)$ y por lo tanto $$\bigcup_{k\ge M} [ak,bk] = [aM,\infty).$$ Así, para cualquier $x\ge aM$ hay un número entero $k\ge m$ tal que $x \in [ak,bk]$ y así $\frac xk \in [a,b] \subset A_m$ . Por lo tanto, $$|f(x)| = |f(k\cdot \frac xk)| \le \epsilon.$$