Polinomios: irreducibilidad $\iff$ sin ceros en F.

Question

Dado es el polinomio $f \in F[x]$ con $deg(f)=3$ . Tengo que demostrar que f es irreducible si $f$ no tiene ceros en $F$ .

" $\Rightarrow$ ": demostremos el contrapositivo: "si $f$ tiene ceros en $F$ entonces $f$ no es irreductible".

Si $f$ tiene ceros en $F$ significa que hay al menos un cero y podemos representar $f$ como producto de dos polinomios: $f = (ax + b) * q(x)$ , donde $deg(q)=2$ . Pero para que un polinomio sea irreducible, la única forma de factorizarlo en dos polinomios es de forma que uno de ellos sea de grado $0$ Es decir, no es irreducible.

Hay lagunas en la prueba que se derivan de algunos puntos ciegos en mi comprensión del material. Por favor, ayuda.

PREGUNTAS:

1) Si un polinomio de grado 3 tiene un punto cero, ¿puedo decir que podemos representarlo de una de las siguientes maneras?

$f=(ax+b)q(x)\\ f= f = (ax+b)(cx+d)g(x)\\ f = (ax+b)(cx+d)(gx+h)$

¿Qué pasa con los polinomios de tipo $ax^3 + b$ ? También puedo decir que el punto cero es $\sqrt[3]{-\frac ba}$ . ¿Cuál debo usar?

2) Vi que la gente escribía $(x - a)$ cuando factorizan un polinomio o hablan de puntos cero. Si en qué casos debo utilizar $(x-a)$ y $(ax+b)$ ¿notas? ¿Debería haber utilizado $(x-a_1)$ notaion en 1)

3) En mi prueba no hago nada con el hecho de que $deg(f) = 3$ . Supongo que este hecho se da por alguna razón. ¿Podría decirme, por favor, cuál es la razón?

Seguramente, algunas personas encontrarán estas preguntas estúpidas y las respuestas sencillas, pero necesito tu ayuda para poner cada pieza de información sobre los polinomios en los lugares correctos de mi mente.

Answer 1

1) Si $f(a)=0$ Entonces todo lo que sabes es que $f(x)=(\square x+\square)g(x)$ para algunos $g(x)$ . Usted no sabe de esto si $g(x)$ se puede factorizar más, por lo que sus otras expresiones no son generalmente válidas. También es necesario poder justificar cómo sabes que $f(x)$ tiene un factor lineal por la existencia de una raíz.

Sin embargo, es cierto que $f(x)$ se factorizará de una de estas dos maneras: un factor lineal por un factor cuadrático irreducible, o tres factores lineales. (Nótese que las dos segundas factorizaciones de la lista son en realidad la misma, porque $\deg f=3$ .) Para la demostración, es mejor quedarse con la primera factorización, porque (a) es suficiente y (b) sale directamente de la aplicación de la teorema del factor .

2) El factor lineal $x-a$ es técnicamente de la forma $\square x+\square$ , pero escribiendo $x-a$ enfatiza el hecho de que está utilizando el teorema del factor en su prueba, y que está utilizando un cero (es decir $a$ ) para construir el factor lineal. Por estas razones, escribir $x-a$ es definitivamente mejor.

3) Sólo has hecho una mitad de la prueba. Has demostrado que si $f$ tiene un cero entonces es reducible, y este hecho en realidad no depende de $\deg f=3$ ya que es cierto para todos los polinomios. Ahora tienes que demostrar la otra dirección, que si $f$ es reducible, entonces tiene un cero. Aquí se utilizará $\deg f=3$ Si este es el caso cuando $f$ es reducible, entonces cuáles son los posibles grados de $f$ ¿factores?

Tenga en cuenta que el problema original le pedía que demostrara que $f$ es irreducible si no tiene ceros, lo que equivale a demostrar que $f$ es reducible si tiene un cero. Esto se debe a que $\rm A\Leftrightarrow B$ y $\rm\neg A\Leftrightarrow\neg B$ son proposiciones lógicamente equivalentes (divide la iff en dos implicaciones y luego utiliza la contraposición).

Answer 2

Si $f(x)$ es un polinomio y $g(x)$ es cualquier polinomio no nulo, siempre se puede escribir $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$ con polinomios $q(x)$ , $r(x)$ , $\deg r<\deg g$ (división polinómica con resto). Especialmente, si se deja $g(x)=x-a$ sea un polinomio lineal, se obtiene $f(x)=q(x)\cdot(x-a)+r$ donde $r$ es constante . Si $a$ resulta ser una raíz de $f$ Obsérvese que a partir de $f(a)=q(a)\cdot 0+r$ se obtiene $r=0$ es decir $f(x)=q(x)(x-a)$ . Así que si $\deg f>1$ y $f(a)=0$ para algunos $a\in F$ , $f$ no puede ser irreducible.

La propiedad que $\deg f=3$ es necesario para la otra dirección de la prueba (Por ejemplo $x^4-5x^2+6$ es reducible en $\mathbb Q[x]$ pero no tiene raíz en $\mathbb Q$ ). Supongamos que $f$ es reducible, digamos $f(x)=g(x)h(x)$ para algunos polinomios no constantes $g,h$ . ¿Qué puede decir sobre los grados de $g$ y $h$ ?