¿Cómo dar sentido a variar la posición y la velocidad de forma independiente?
Editar:
La velocidad es la derivada de la posición, así que ¿cómo se puede tratar como variables independientes? No todos los estudiante de física esta pregunta, cuando se entera de cálculo de variaciones? ¿Alguien alguna vez responder a esta pregunta? Nunca? Si es así, por favor, educarme.
A diferencia de su pregunta sugiere, es que no es cierto que la velocidad es muy variado, independientemente de la posición. Una variación de la posición $q \mapsto q + \delta p$ induce una variación de la velocidad de $\partial_t q \mapsto \partial_t q + \partial_t (\delta p)$ como era de esperar.
La única cosa que puede parecer extraño es que $p$ y $\partial_t q$ se tratan como variables independientes de la Lagrangiana $L(q,\partial_t q)$. Pero esto no es sorprendente, después de todo, si usted pregunta "¿cuál es la energía cinética de una partícula?", entonces no es suficiente para conocer la posición de la partícula, usted también tiene que saber su velocidad para responder a esa pregunta.
Dicho de otra manera, usted puede elegir la posición y la velocidad de forma independiente como condiciones iniciales, es por eso que la función de Lagrange trata como independiente; pero el cálculo de la variación ¿ no varían de forma autónoma, una variación en la posición induce un ajuste de la variación en la velocidad.
La respuesta a tu pregunta principal que ya está dado, no varían coordiante y la velocidad de forma independiente. Pero parece que su principal problema es el uso de coordenadas y la velocidad como variables independientes.
Me referiré a este gran libro: "Aplica La Geometría Diferencial". Por William L. Burke. La primera línea del libro (cuando el autor dice que este libro es dedicado) es este:
Es cierto que a partir de tiempo al momento de hacer el estudiante esta pregunta. Pero los intentos de explicar lo de "arriba hacia abajo" son por lo general sólo conducirá a más y más preguntas. Lo que uno realmente necesita para hacer matemática "de abajo arriba" en el tema. Bueno, como el nombre del libro sugieren -- la disciplina matemática que uno necesita es la geometría diferencial.
No puedo volver a contar todos los detalles, pero en breve se parece a esto:
Teniendo en cuenta lo que Greg Gravitón escribió, voy a escribir la derivación y ver si puedo hacer sentido de ella.
$$ S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot q, t) dt $$
donde S es la acción y L el Lagrangiano. Podemos variar la ruta y encontrar el extremo de la acción:
$$ \delta = \int_{t_1}^{t_2} ({\partial L \over \partial q}\delta p + {\partial L \over \partial \dot q}\delta \dot q) dt = 0. $$
Aquí, q y $\dot q$ se varió de forma independiente. Pero luego, en el siguiente paso vamos a usar esta identidad,
$$ \delta \dot q = {d \más de dt} \delta p. $$
Y aquí es donde la relación entre q y $\dot q$ entra en la imagen. Creo que lo que está sucediendo aquí es que q y $\dot q$ son tratados como independientes en un principio, pero luego de la independencia se elimina por la identidad.
$$ \delta = \int_{t_1}^{t_2} ({\partial L \over \partial q}\delta p + {\partial L \over \partial \dot q}{d \más de dt} \delta p) dt = 0 $$
Y luego sigue el resto de la derivación. Integramos el segundo término por partes:
$$ \delta = \lbrack {\partial L \over \partial \dot q}\delta p\rbrack_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} ({\partial L \over \partial q} - {d \más de dt}{\partial L \over \partial \dot q})\delta q dt = 0, $$
y la expresión entre corchetes es igual a cero porque los extremos se mantiene fijo. Y, a continuación, nos puede sacar de Euler-Lagrange ecuación:
$$ {\partial L \over \partial q} - {d \más de dt}{\partial L \over \partial \dot q} = 0. $$
Ahora tiene más sentido para mí. Empezar por el tratamiento de las variables independientes, pero, a continuación, quitar la independencia mediante la imposición de una condición durante la derivación.
Creo que tiene sentido. Espero que, en general, otros problemas pueden ser tratados de la misma manera.
(He copiado las anteriores ecuaciones de la Mecánica por Landau y Lifshitz.)
Aquí está mi respuesta, que es básicamente una versión ampliada de Greg Gravitón la respuesta.
La pregunta de por qué uno puede tratar de posición y velocidad como variables independientes se plantea en la definición de la Lagrangiana $L$ a sí mismo, antes de que uno piensa acerca de la variación de la acción $S:=\int_{t_i}^{t_f}dt \ L$, y por lo tanto tiene nada que ver con el cálculo de la variación.
I) Por un lado, primero vamos a considerar el papel de la Lagrangiana. Vamos a no ser debido a un arbitrario pero fijo instante de tiempo $t_0\in [t_i,t_f]$. El (instantánea) de Lagrange $L(q(t_0),v(t_0),t_0)$ es una función tanto de la posición instantánea $q(t_0)$ y la velocidad instantánea $v(t_0)$ en el instante $t_0$. Aquí $q(t_0)$ y $v(t_0)$ son independientes de las variables. Tenga en cuenta que el (instantánea) de Lagrange $L(q(t_0),v(t_0),t_0)$ no dependen de los últimos $t<t_0$ ni el futuro $t>t_0$. (Uno podría objetar que el perfil de velocidad $\dot{q}\equiv\frac{dq}{dt}:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$ es la derivada de la posición del perfil de $p:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$, entonces, ¿cómo puede $q(t_0)$ y $v(t_0)$ ser realmente independiente de las variables? El punto es que, dado que la ecuación de movimiento es de 2º orden, uno tiene derecho a hacer 2 independiente de las opciones de las condiciones iniciales: 1 posición inicial y 1 velocidad inicial.) Podemos repetir este argumento para cualquier otro instante $t_0\in[t_i,t_f]$.
II) Por otro lado, consideremos el cálculo de la variación. La acción funcional $S[p] := \int_{t_i}^{t_f}dt \ L(q(t),\dot{q}(t),t)$ depende de todo (quizás virtual) ruta $p:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$. Aquí el tiempo derivado de $\dot{q}\equiv\frac{dq}{dt}$ no dependen de la función $p:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$. Extremizing la acción funcional
$$0=\delta = \int_{t_i}^{t_f}dt\left[\left.\frac{\partial L(q(t),v(t),t)}{\partial q(t)}\right|_{v(t)=\dot{q}(t)} \delta p(t) +\left.\frac{\partial L(q(t),v(t),t)}{\partial v(t)}\right|_{v(t)=\dot{q}(t)}\delta \dot{q}(t)\right] $$ $$ = \int_{t_i}^{t_f}dt\left[\left.\frac{\partial L(q(t),v(t),t)}{\partial q(t)}\right|_{v(t)=\dot{q}(t)} \delta p(t) +\left.\frac{\partial L(q(t),v(t),t)}{\partial v(t)}\right|_{v(t)=\dot{q}(t)}\frac{d}{dt}\delta p(t)\right] $$ $$ = \int_{t_i}^{t_f}dt\left[\left.\frac{\partial L(q(t),v(t),t)}{\partial q(t)}\right|_{v(t)=\dot{q}(t)} - \frac{d}{dt}\left(\left.\frac{\partial L(q(t),v(t),t)}{\partial v(t)}\right|_{v(t)=\dot{q}(t)} \right)\right]\delta p(t) $$ $$+ \int_{t_i}^{t_f}dt\frac{d}{dt}\left[\left.\frac{\partial L(q(t),v(t),t)}{\partial v(t)}\right|_{v(t)=\dot{q}(t)}\delta p(t)\right]\etiqueta{1} $$
con condiciones de contorno adecuadas conduce a Euler-Lagrange ecuación,
$$ \frac{d}{dt}\left(\left.\frac{\partial L(q(t),v(t),t)}{\partial v(t)} \right|_{v(t)=\dot{q}(t)} \right) = \left.\frac{\partial L(q(t),v(t),t)}{\partial q(t)} \right|_{v(t)=\dot{q}(t)} ~.\la etiqueta{2} $$
III) tomar Nota de que
$$\frac{d}{dt}~=~\dot{v}(t)\frac{\partial}{\partial v(t)}+\dot{q}(t)\frac{\partial}{\partial q(t)}+\frac{\partial}{\partial t} \etiqueta{3}$$
es un total de tiempo de derivados, no explícito de tiempo derivado de $\frac{\partial}{\partial t}$, por lo que el de Euler-Lagrange de la ecuación (2) es realmente un 2º-orden de la ecuación diferencial ordinaria (ODE),
$$\left(\ddot{q}(t)\frac{\partial}{\partial v(t)}+\dot{q}(t)\frac{\partial}{\partial q(t)}+\frac{\partial}{\partial t}\right) \a la izquierda. \frac{\partial L(q(t),v(t),t)}{\partial v(t)} \right|_{v(t)=\dot{q}(t)} = \left.\frac{\partial L(q(t),v(t),t)}{\partial q(t)} \right|_{v(t)=\dot{q}(t)}~. \etiqueta{4}$$
Para resolver la ruta $p:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$, uno debe especificar dos condiciones iniciales, por ejemplo, $q(t_i)=q_i$ y $\dot{q}(t_i)=v_i$.
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