General existencia y unicidad de Oda

Question

Estoy tratando de asegurarse de que entiendo la pregunta siguiente. Así como yo estoy teniendo un poco de problemas para entender las soluciones parciales dado.

La pregunta es, básicamente, ¿qué podemos decir acerca de los siguientes PIV ?

$$y'=y^{1/3}$$ with initial value, $y(0)=0$ for $t \ge 0$

Sé que el importante teorema a tener en cuenta es el teorema acerca de las soluciones únicas dependiendo de la continuidad de la derivada parcial de w.r.t a s y la existencia dependiendo de la continuidad de f(t,y) en sí.

Así que lo que estoy viendo inicialmente es que la derivada parcial (w.r.t a y) es continua en todas partes de esperar en $y=0$. y $f(t,y)$ sí es continua para todos los valores de $t$.

Así que ¿esto Implica que tenemos una solución para todos los valores de t, pero sólo tiene una solución única al $y \neq 0$ ?

De problemas, utilizando el hecho de que tenemos una ecuación separable me da,

$$y^{-1/3}dy=dt$$

La integración de ambos lados,

$$\frac{3}{2}y^{2/3}=t+c$$

$$y^{2/3}=\frac{2}{3}(t+c)$$

$$y^2=[(2/3)(t+c)]^{3}$$

$$y= \pm [(2/3)(t+c)]^{3/2}$$

A partir de nuestras condiciones iniciales podemos resolver fácilmente para c, para conseguir ese $c=0$

que es $y=\pm (2/3)t^{3/2}$

Ahora este es mi primer punto de la confusión, la solución que se dice por estas dos respuestas, $t \ge 0$ creo que estoy perdido en ti, y aunque me entendieron lo que el teorema dijo, yo no entender sus implicaciones.

Así, desde la observación inicial, sabemos $y=\psi(t)=0$ es también una solución.

Y la respuesta final es que el $y= \lambda (t)= 0$ si $0 \le t \le t_{o}$ $\pm[(2/3)(t-t_{o})]^{3/2}$ si $t \ge t_{o}$ Es la razón por la que tenemos que la segunda parte es sólo para $t \ge t_{0}$ sólo para evitar tomando la raíz cuadrada de los negativos?

Todavía estoy confundido acerca de la respuesta final. Entiendo lo que encontramos, podría tener $\pm [(2/3)(t+c)]^{3/2}$ e y=0, pero lo que soy yo no entiendo es cómo a partir de que podemos obtener y=0 si $0 \le t \lt t_{o}$ $\pm [(2/3)(t-t_{o})]^{3/2}$ si $t \ge t_{o}$? ¿Cómo se hace esto? Sólo directamente afirmó. Principalmente, ¿cómo es que se fue directamente a decir Por favor alguien puede ayudar a atar juntos para mí? Muchas gracias

Answer 1

Su ecuación es de la forma $y' = f(t,y)$$f(t,y) = y^{1/3}$.

Teorema (Corto tiempo de existencia): Si $f(t,y)$ es continua en a $y_0$, luego $y' = f(t,y)$, $y(t_0) = y_0$ tiene una solución en algún intervalo que contiene a $t_0$.

Su satisface esta ecuación.

Teorema (de Corto tiempo singularidad): Si $f(t,y)$ es continua en a $y_0$ $\frac{\partial f}{\partial y}$ existe y es continua en a $y_0$, luego $y' = f(t,y)$, $y(t_0) = y_0$ tiene una única solución en algún intervalo que contiene a $t_0$.

Su ecuación no satisface esta para $y_0 = 0$, debido a $\frac{\partial}{\partial y} y^{1/3} = \frac{1}{3} y^{-2/3}$ no existe en $y = 0$. Así que usted no tiene la unicidad de las soluciones de partida con $y_0 = 0$.

Si comienzas a algunos $y_0 \neq 0$, usted tiene la singularidad de soluciones para un corto período de tiempo al menos, en otras palabras, en un intervalo de tiempo que contenga $t_0$. Después de un tiempo, puede llegar a $y = 0$ en su solución, y la singularidad sería un fracaso. Este teorema no dice nada en particular acerca mucho tiempo singularidad.

(Nota: Hay más débiles condiciones para poner en $f$ en los teoremas, pero estos son simples y de trabajo.)

---

Algunos intuición de lo que está pasando:

Si el boceto de un campo pendiente de $y' = y^{1/3}$, tenga en cuenta que hay una constante de la solución en $y = 0$. A menudo, en tal caso, estará cerca las soluciones que asíntota a esta solución. Pero en este caso, $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{3} y^{-2/3}$ (la tasa a la cual la pendiente está cambiando) se vuelve demasiado grande cerca de $y = 0$, y las soluciones que comienzan negativo en realidad llegar a esta constante de la solución.

Una vez que esto sucede, la singularidad de tiro: usted puede cambiar de la cerca de la solución de $y = \left(\frac{2}{3} t\right)^{3/2}$ que alcanzó $y = 0$ $y = 0$ solución.

De hecho, hay uncountably infinitamente muchas soluciones: usted puede permanecer en $y = 0$ para cualquier distancia y, a continuación, iniciar en uno de los $\pm(2/3)^{3/2}(t+c)^{2/3}$ curvas.

---

Nota sobre el más débil condiciones:

Como se mencionó en la sección anterior sobre la intuición, el problema estaba relacionado con el hecho de que el derivado $\frac{\partial f}{\partial y}$ se convierte en ilimitado (arbitrariamente grande) cerca de $y = 0$.

La débil condición en la unicidad teorema: $f(t,y)$ es de Lipschitz en $y$. Es decir, hay algunas constantes $C$ tal que $|f(t,y_1) - f(t,y_2)| \leq C |y_1-y_2|$. (De hecho, sólo se necesita localmente Lipschitz, que voy a dejar a usted para buscar.) Realmente la cuestión: $f$ no debe ser permitido cambiar muy rápidamente, en el sentido de que la secante laderas $\frac{|f(t,y_1) - f(t,y_2)|}{|y_1-y_2|}$ debe ser localmente acotada. La existencia y continuidad de la derivada esto se garantiza, así que es un buen simple-a condición de estado para su uso en el teorema.

Un wiki de referencia para el correspondiente teorema de Picard-Lindelöf teorema.

---

Nota sobre por qué hay una cantidad no numerable de soluciones a $y' = y^{1/3}$, $y(t_0) = 0$:

$y = 0$ es una solución, como se dio cuenta

$y = \pm[(2/3)(t-t_0)]^{3/2}$ es una solución, como se dio cuenta

Pero así es

$y = 0$ $t < T$ $y = \pm[(2/3)(t-T)]^{3/2}$ $t \geq T$ (para cualquier $T \geq t_0$, por lo que el $y(t_0) = 0$)

y así es

$y = 0$ $t > T$ $y = \pm[(2/3)(t-T)]^{3/2}$ $t \leq T$ (para cualquier $T \leq t_0$, por lo que el $y(t_0) = 0$)

y así es

$y = \pm[(2/3)(t-S)]^{3/2}$ $t \leq S$ $y = 0$ $S < y < T$ $y = \pm[(2/3)(t-T)]^{3/2}$ $t \geq T$ ( $S \leq t_0 \leq T$ , por lo que el $y(t_0) = 0$)

¿Por qué son estos últimos tres soluciones?

La ecuación de $y' = f(t,y)$ es una ecuación sobre la derivada de $y$. Tanto en $y = 0$ $y = \pm[(2/3)(t-T)]^{3/2}$ tienen la misma derivada, es decir, cero, en $y = T$, por lo que los tramos de la función es derivable con derivada cero allí, así que también debe de ser una solución a $y' = y^{1/3}$.

De hecho, si usted piensa cuidadosamente sobre el hecho de que las soluciones son (en escala de tiempo corto) único, lejos de la $y = 0$, usted verá que estos son una lista completa de las soluciones.

Otro comentario sobre esto:

Si dos soluciones cumplen, deben tener la misma pendiente, debido a que la ecuación de $y' = f(t,y)$ determina la pendiente basado en $t$$y$. Así que si dos soluciones cumplir (que precisamente significa que usted no tiene la singularidad), siempre se puede cambiar de uno a otro así.

La ecuación de $y' = y^{1/3}$ es una situación muy especial donde tenemos toda una línea de $y = 0$ de los casos en que se infringe la unicidad, y esta línea es también en sí mismo una solución. En este caso tenemos esta innumerable familia de soluciones.