Su ecuación es de la forma $y' = f(t,y)$$f(t,y) = y^{1/3}$.
Teorema (Corto tiempo de existencia): Si $f(t,y)$ es continua en a $y_0$, luego $y' = f(t,y)$, $y(t_0) = y_0$ tiene una solución en algún intervalo que contiene a $t_0$.
Su satisface esta ecuación.
Teorema (de Corto tiempo singularidad): Si $f(t,y)$ es continua en a $y_0$ $\frac{\partial f}{\partial y}$ existe y es continua en a $y_0$, luego $y' = f(t,y)$, $y(t_0) = y_0$ tiene una única solución en algún intervalo que contiene a $t_0$.
Su ecuación no satisface esta para $y_0 = 0$, debido a $\frac{\partial}{\partial y} y^{1/3} = \frac{1}{3} y^{-2/3}$ no existe en $y = 0$. Así que usted no tiene la unicidad de las soluciones de partida con $y_0 = 0$.
Si comienzas a algunos $y_0 \neq 0$, usted tiene la singularidad de soluciones para un corto período de tiempo al menos, en otras palabras, en un intervalo de tiempo que contenga $t_0$. Después de un tiempo, puede llegar a $y = 0$ en su solución, y la singularidad sería un fracaso. Este teorema no dice nada en particular acerca mucho tiempo singularidad.
(Nota: Hay más débiles condiciones para poner en $f$ en los teoremas, pero estos son simples y de trabajo.)
Algunos intuición de lo que está pasando:
Si el boceto de un campo pendiente de $y' = y^{1/3}$, tenga en cuenta que hay una constante de la solución en $y = 0$. A menudo, en tal caso, estará cerca las soluciones que asíntota a esta solución. Pero en este caso, $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{3} y^{-2/3}$ (la tasa a la cual la pendiente está cambiando) se vuelve demasiado grande cerca de $y = 0$, y las soluciones que comienzan negativo en realidad llegar a esta constante de la solución.
Una vez que esto sucede, la singularidad de tiro: usted puede cambiar de la cerca de la solución de $y = \left(\frac{2}{3} t\right)^{3/2}$ que alcanzó $y = 0$ $y = 0$ solución.
De hecho, hay uncountably infinitamente muchas soluciones: usted puede permanecer en $y = 0$ para cualquier distancia y, a continuación, iniciar en uno de los $\pm(2/3)^{3/2}(t+c)^{2/3}$ curvas.
Nota sobre el más débil condiciones:
Como se mencionó en la sección anterior sobre la intuición, el problema estaba relacionado con el hecho de que el derivado $\frac{\partial f}{\partial y}$ se convierte en ilimitado (arbitrariamente grande) cerca de $y = 0$.
La débil condición en la unicidad teorema: $f(t,y)$ es de Lipschitz en $y$. Es decir, hay algunas constantes $C$ tal que $|f(t,y_1) - f(t,y_2)| \leq C |y_1-y_2|$. (De hecho, sólo se necesita localmente Lipschitz, que voy a dejar a usted para buscar.) Realmente la cuestión: $f$ no debe ser permitido cambiar muy rápidamente, en el sentido de que la secante laderas $\frac{|f(t,y_1) - f(t,y_2)|}{|y_1-y_2|}$ debe ser localmente acotada. La existencia y continuidad de la derivada esto se garantiza, así que es un buen simple-a condición de estado para su uso en el teorema.
Un wiki de referencia para el correspondiente teorema de Picard-Lindelöf teorema.
Nota sobre por qué hay una cantidad no numerable de soluciones a $y' = y^{1/3}$, $y(t_0) = 0$:
$y = 0$ es una solución, como se dio cuenta
$y = \pm[(2/3)(t-t_0)]^{3/2}$ es una solución, como se dio cuenta
Pero así es
$y = 0$ $t < T$ $y = \pm[(2/3)(t-T)]^{3/2}$ $t \geq T$ (para cualquier $T \geq t_0$, por lo que el $y(t_0) = 0$)
y así es
$y = 0$ $t > T$ $y = \pm[(2/3)(t-T)]^{3/2}$ $t \leq T$ (para cualquier $T \leq t_0$, por lo que el $y(t_0) = 0$)
y así es
$y = \pm[(2/3)(t-S)]^{3/2}$ $t \leq S$ $y = 0$ $S < y < T$ $y = \pm[(2/3)(t-T)]^{3/2}$ $t \geq T$ ( $S \leq t_0 \leq T$ , por lo que el $y(t_0) = 0$)
¿Por qué son estos últimos tres soluciones?
La ecuación de $y' = f(t,y)$ es una ecuación sobre la derivada de $y$. Tanto en $y = 0$ $y = \pm[(2/3)(t-T)]^{3/2}$ tienen la misma derivada, es decir, cero, en $y = T$, por lo que los tramos de la función es derivable con derivada cero allí, así que también debe de ser una solución a $y' = y^{1/3}$.
De hecho, si usted piensa cuidadosamente sobre el hecho de que las soluciones son (en escala de tiempo corto) único, lejos de la $y = 0$, usted verá que estos son una lista completa de las soluciones.
Otro comentario sobre esto:
Si dos soluciones cumplen, deben tener la misma pendiente, debido a que la ecuación de $y' = f(t,y)$ determina la pendiente basado en $t$$y$. Así que si dos soluciones cumplir (que precisamente significa que usted no tiene la singularidad), siempre se puede cambiar de uno a otro así.
La ecuación de $y' = y^{1/3}$ es una situación muy especial donde tenemos toda una línea de $y = 0$ de los casos en que se infringe la unicidad, y esta línea es también en sí mismo una solución. En este caso tenemos esta innumerable familia de soluciones.
