¿Cuántas soluciones hay para esta ecuación? $(x^2-x-1)^{x^2}=(x^2-x-1)$

Question

Mis libros dicen que las posibles soluciones a $\hspace{0.2cm}$$ (x^2-x-1)^{x^2}=(x^2-x-1) $ $ \espacio de 0,2 cm. $in $ \espacio de 0,1 cm. $$\mathbb{R}$ $\hspace{0.1cm}$ son $\hspace{0.1cm}$ $-1,1,2$

No es $\hspace{0.2cm}$ $\frac{1+\sqrt5}{2}$ $\hspace{0.2cm}$ ¿también una posible solución?

Answer 1

Enchufar las raíces de $x^2-x-1$ rinde $0^a=0$ lo cual es cierto siempre y cuando $a\ne0$ . Dado que ninguna de las raíces de $x^2-x-1$ también son raíces de $x^2$ , ambos satisfacen la ecuación.

Answer 2

Si $\displaystyle x^2-x-1=0, x=\cdots$

Si no $\displaystyle(x^2-x-1)^{(x^2-1)}=1$

Ahora $\displaystyle a^m=1\implies$

o bien $m=0, a\ne0$

o $a=1$

o $a=-1,m$ incluso

Answer 3

Sí, también las raíces de $x^2 - x -1$ son la solución de esta ecuación