Alguna representación única de enteros no negativos

Question

Sea $\mathbb N$ el conjunto de enteros no negativos, es decir $\mathbb N={0,1,2,3,\ldots}$.

¿Existe un subconjunto $K\subset\mathbb N$ tal que cada $n\in\mathbb N$ tiene una única representación $n=a+2b$ $a,b\in K$?

He conseguido los resultados parciales que $0\in K$, $1\in K$, $2\notin K$, $3\notin K$, $4\in K$, $5\in K$, $6\notin K$, $7\notin K$, $8\notin K$, $9\notin K$, $10\notin K$, $11\notin K$, $12\notin K$, $13\notin K$, $14\notin K$, $15\notin K$, $16\in K$, $17\in K$de % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de %.

Answer 1

En términos de generación de funciones vamos a $f(x)=\sum_{a\in K}x^a$. Usted tiene: $$\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\sum_{a,b\in K}x^{a+2b}=\left(\sum_{a\in K}x^a\right)\left(\sum_{a\in K}x^{2a}\right)=f(x)f(x^2)\tag{1}.$$

Ahora, en orden a construir $K$ es suficiente para encontrar la función de $f$. Una manera de hacer esto es para demostrar que existe un único subconjunto $K$ que verifica la ecuación de $(1)$ por inducción y diferenciación y la evaluación en $x=0$, pero se puede encontrar a la generación de la función $f$ mediante la siguiente fórmula: $$\left(1-x^{2^{2n+1}}\right)f(x)f\left(x^{2^{2n+1}}\right)=\prod_{i=0}^{n}\frac{1-x^{2^{2i+1}}}{1-x^{2^{2i}}}\tag{2}$$

y al $n\to \infty$ podemos concluir que: $$f(x)=\prod_{i=0}^{\infty}\frac{1-x^{2^{2i+1}}}{1-x^{2^{2i}}}=\prod_{i=1}^{\infty}\left(1+x^{2^{2i}}\right) \tag 3$$

y, finalmente, hemos demostrado que la $K$ es único y $$K=\left\{\sum_{i\in A} 2^{2i}\ \big|\ A\subset \Bbb N,|A|<\infty\right\} \tag 4$$

y por lo tanto hemos demostrado que la $K$ debe ser el conjunto de números enteros cuya representación binaria siempre han cero en posiciones impares.

Tal vez uno puede encontrar este resultado en el principio debido a que cada entero $n$ tiene una representación única de la forma $$n=\sum_{i\in A}2^i+2\sum_{i\in B}2^i\tag 5$$ con $A,B$ contienen sólo números.