Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo. Por qué $\operatorname{Spec}A$ casi nunca satisface el $T1$ -¿Axioma de separación (Matsumura, Commutative Ring Theory, p.25)?
Respuestas
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Es fácil ver que un espacio $X$ es $T_1$ precisamente cuando el conjunto único $\{x\}$ está cerrado en $X$ por cada $x\in X$ (esto se menciona en Wikipedia ). En la topología de Zariski, el cierre de un ideal primo $x\in\mathrm{Spec}(A)$ es el conjunto de ideales primos que contienen $x$ es decir $\overline{\{x\}}=\{y\in\mathrm{Spec}(A)\mid y\supseteq x\}$ . Por lo tanto, si cada conjunto monocorde en $\mathrm{Spec}(A)$ es cerrado en la topología de Zariski, todo ideal primo de $A$ es máxima. Esto no es cierto para la "mayoría" de los anillos.
Bryan Roth
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Teorema: Para un anillo conmutativo $R$ , los siguientes son equivalentes:
(i) $R/\operatorname{nil}(R)$ es absolutamente plana (es decir, cada $(R/\operatorname{nil} R)$ -módulo es plano).
(ii) $\operatorname{Spec} R$ se separa (también conocido como $T_1$ ).
(iii) $\operatorname{Spec} R$ es Hausdorff.
(iv) $R$ tiene dimensión de Krull cero, es decir, todos los ideales primos son maximales.
Para una prueba de la equivalencia, véase $\S 13.3$ de mis apuntes de álgebra conmutativa .
Me parece que la frase " $\operatorname{Spec} A$ casi nunca satisface el $T1$ -El "axioma de separación" es algo desafortunado: las clases de isomorfismo de los anillos que satisfacen esta condición forman una clase propia, al igual que las clases de isomorfismo de los anillos que no satisfacen esta condición. Qué clase de anillos se encuentra más a menudo depende, por supuesto, de lo que se haga. Entre los anillos noetherianos, esta condición se cumple si el anillo es artiniano, que desde la perspectiva de la geometría algebraica clásica es una clase muy restringida de anillos -por ejemplo, el anillo de coordenadas de una variedad afín (digamos compleja) es artiniano si la variedad es un conjunto finito de puntos. Pero si se estudian anillos booleanos / álgebras booleanas / espacios de Stone, esta clase de anillos será omnipresente.
