¿Por qué dividimos o multiplicamos por 2 al convertir a binario?

Question

Tratando de entender los fundamentos del binario en lugar de simplemente seguir pasos, quería saber por qué multiplicamos por 2 para convertir un decimal (0.5, 0.25) a binario y por qué dividimos por 2 cuando queremos convertir un número entero (200) ¿por 2? Obviamente, funciona pero ¿cómo?

Toma el siguiente ejemplo:

Convertir $200_{10}$ a binario:

Solución:

     D > B    | Resto    
-------------------------------------
200 / 2 = 100 | 0    

100 / 2 = 50  | 0            

50/2 = 25     | 0  

25/2 = 12     | 1

12/2 = 6      | 0 

6/2 = 3       | 0 

3/2 = 1       | 1 

1/2 = 0       | 1  

Tomando el resto de abajo hacia arriba

$200_{10} = 11001000_2$

¿Por qué funciona este método? En otras palabras, ¿cuál es el secreto detrás de la división por $2$?

Ahora convirtiendo decimales (por ejemplo, 0.5, 0.25) a binario:

Ahora supongamos que tenemos un decimal como $0.25$ y queremos convertirlo a binario, uno de los métodos que conozco funciona así:

Multiplicando el decimal por 2 repetidamente:

0.25 * 2 = {0}.50 | {0}
0.50 * 2 = {1}.00 | {1} 
0.00 
--------------------------
                   .01
                   0.01  

Para más detalles sobre el método anterior: Conversión de decimal a binario con fracciones

Puedes ver que las dos operaciones están invertidas, para convertir un número entero a binario dividimos por $2$ y para convertir una fracción (decimal) usamos la multiplicación. Sumado a eso, el orden en el que tomamos el resultado de abajo hacia arriba y de arriba hacia abajo. ¿Cómo funciona eso?

(¿Por qué se utiliza la división para convertir números enteros a binario y por qué se utiliza la multiplicación para convertir decimales (por ejemplo, 0.25) a binario?)

Answer 1

¿Por qué el binario es de base 2 y el decimal de base 10?

Es una pregunta bastante trivial, ya que sólo son los términos que utilizamos para esas bases. Es como preguntar "¿por qué los humanos son personas?"; es sólo una palabra que utilizamos. Binario significa base-2 y decimal significa base-10. No hay nada complicado.

¿Por qué utilizamos los poderes de $2$ para los números binarios?

Base-10 y Carrying

Piensa en cómo representas los números (enteros). Es fácil para el primer $10$ ya que sólo hacemos un nuevo símbolo cada vez: $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ . Pero, por supuesto, no queremos hacer un nuevo símbolo para cada nuevo número, ya que se volvería muy desordenado y complicado. Así que para el número después de $9$ empezamos a contar en un nuevo lugar. Entonces, ponemos un $1$ (mostrado en azul) en el lugar de la izquierda, para obtener $\color{blue}{1}\text{_}$ . Luego, en el lugar de la derecha, reajustamos nuestro $9$ a $0$ y empezar a contar de nuevo (mostrado en rojo). Por lo tanto, después de $9$ obtenemos $\color{blue}{1}\color{red}{0},\color{blue}{1}\color{red}{1},\color{blue}{1}\color{red}{2},\ldots$ . El $1$ que ponemos en el lugar de la izquierda se llama llevar . Por supuesto, cuando llegamos a $19$ cambiamos el $1$ a la izquierda a un $2$ y de nuevo, restablecer el $9$ a un $0$ . Esto puede parecer obvio, pero tenemos que pensar en lo que estamos haciendo exactamente.

El objetivo de esto es simplificar y facilitar la lectura de los números. Sin perder claridad, hemos conseguido representar cada número entero como una secuencia de $10$ símbolos. Este es el sistema que casi siempre utilizamos, y se llama base-diez o decimal.

Para representar números más grandes en notación decimal, tendríamos que seguir poniendo un nuevo número a la izquierda cada vez que no podamos avanzar más. Por lo tanto, $9\mapsto10$ y $99\mapsto100$ y $999\mapsto1000$ y así sucesivamente. Como he mencionado antes, estamos que lleva el $1$ en cada caso. ¿Cuál es la característica común entre $10,100,100\ldots$ ? Bueno, todos son poderes de $10$ . Piensa en esto, ya que es importante. Empezamos con $10$ símbolos (por ejemplo $0,1,2,3,\ldots$ ) pero siempre que llevemos un $1$ (a una nueva posición a la izquierda), lo hacemos a una potencia de $10$ . Esto no es una coincidencia. Esto sucede porque llevamos la $1$ cada vez que hayamos superado nuestro recuento en las otras columnas, lo que ocurre en $9$ y $99$ y así sucesivamente.

Esto significa que cuando escribimos el número $1729$ lo que realmente queremos decir es $$1\times1000\quad+\quad7\times100\quad+\quad2\times10\quad+\quad9\times1$$

Esto nos muestra por qué la base-diez está tan fundamentalmente ligada a los poderes de $10$ porque los dígitos de un número te dicen cuántos $1$ 's, $10$ 's, $100$ etc. que hay en él.

Base-2

En la base $10$ Empezamos con $10$ símbolos. Pero, ¿por qué? ¿Hay alguna razón especial para elegir $10$ ? Resulta que no, no hay nada fundamental, matemáticas razón para preferir $10$ a un número diferente (por ejemplo $8$ o $12$ ). Obsérvese que el número de símbolos es el base . Hay argumentos culturales, históricos y prácticos para elegir $10$ pero no son relevantes aquí. De hecho, los nativos americanos Gente de Yuki utilizar la base $8$ , mientras que el Babilonia base usada $12$ .

Digamos que queremos utilizar la base $2$ para nuestro recuento (es decir, sólo utilizando $2$ símbolos). Para simplificar, utilizamos el primer $2$ los símbolos que utilizábamos antes (es decir $0$ y $1$ ). Si utilizáramos este sistema, ¿cómo contaríamos? Empezaríamos con $0,1,???$ ¿y luego qué? Bueno, haríamos lo mismo que antes y pondríamos un $1$ a la izquierda de nuestros números. Por lo tanto, $\color{red}{0},\color{red}{1}\mapsto\color{blue}{1}\color{red}{0},\color{blue}{1}\color{red}{1}$ .

De hecho, al igual que la forma en que maximizamos nuestra base $10$ contar en $9$ o $99$ o $999\ldots$ etc., maximizamos nuestra base $2$ contar en $1_B$ o $11_B$ o $111\ldots_B$ (el subíndice B indica que estos números están en base 2). Para que esto quede más claro, mira cómo contamos en binario:

$$0,1,10,11,100,101,110,111,1000\ldots$$

Cada vez que obtenemos un número hecho sólo de unos, arrastramos un $1_B$ a la izquierda. Por ejemplo, después de $111_B$ obtenemos $1000_B$ .

Pero, ¿cuándo se consigue $1_B$ o $10_B$ o $100\ldots_B$ ? Mirar estos números en forma decimal debería dar una indicación más clara: $1,2,4,8,16,\dots$ . Estos son los poderes de $2$ . Como sólo tenemos $2$ diferentes símbolos, llegamos al máximo de nuestro recuento después de $2$ números o $2\times2$ números, o $2\times2\times2\ldots$ .

Por lo tanto, la base $2$ está fundamentalmente relacionado con los poderes de $2$ . Cuando escribimos la base- $2$ número $1011_B$ nos referimos realmente:

$$1\times8\quad+\quad0\times4\quad+\quad1\times2\quad+\quad1\times1$$ .

Dónde $1,2,4,8,\ldots$ son las potencias de $2$ . En otras palabras, $2^0,2^1,2^2,\ldots$

En general, para cualquier sistema con $n$ símbolos, cuando se escribe $31415_{\text{(base $ n $)}}$ te refieres a lo siguiente, en base $10$ : $$(3\times n^4)+(1\times n^3)+(4\times n^2)+(1\times n^1)+(5\times n^0)$$

Espero que esto aclare el porqué de la base $10$ tiene una suma de potencias de $10$ pero la base $2$ tiene poderes de $2$ . Es una consecuencia natural del uso de cualquier base.

¿Por qué contamos con base- $10$ para la mayoría de las cosas pero con base- $2$ para ordenadores

Como he escrito antes, el uso de la base $10$ para representar los números está muy influenciado por la historia y la sociedad. La mayoría de las veces, los números con los que tratará en su vida estarán entre $1$ y $200$ . Por ejemplo, cuántos años tienes, cuántos coches hay en tu calle o cuántos huevos has comido esta semana. Por supuesto, es poco probable que estas cifras sean masivas. Así que tiene sentido necesitar una base de aproximadamente $10$ ya que las bases pequeñas o grandes no son prácticas.

A efectos prácticos, la base- $2$ es demasiado engorroso ya que utiliza muchos números (el número $100$ es $1100100_B$ en la base- $2$ ) pero la base $1000$ es completamente inviable ya que necesitarías $1000$ diferentes símbolos. ¿Puedes pensar en $1000$ símbolos que parecen significativamente diferentes? No puedo.

Por lo tanto, utilizamos una base alrededor de $8-16$ . Algunas personas han utilizado $8$ antes, algunos $12$ y algunos $16$ . En realidad, no importa demasiado cuál elijas. Es útil que la base tenga muchos divisores, ya que permite escribir expresiones sencillas para fracciones (como $\frac15=0.2$ en la base- $10$ ). Por lo tanto, $11$ y $13$ no se utilizan. También es útil que la base sea divisible por $2$ para que $\frac12$ puede tener una expresión sencilla. Así que $7,9,15$ no se suelen utilizar. Esto nos deja con $8,10,12,14$ y $16$ . Base $14$ no se utiliza a menudo ya que uno de sus divisores es $7$ y por qué debemos incluir $7$ como divisor pero no $3$ o $5$ ? No obstante, $8,10,12$ y $16$ se han utilizado ampliamente como base. Esta regla no cubre todas las culturas, ya que incluso la base $64$ se ha utilizado (¡aunque necesitaba muchos símbolos!). Además, como @ Luís Henrique señala, el mesoamericano La civilización maya utilizó una interesante combinación de base- $5$ y la base $20$ en su sistema numérico .

Otros comentaristas han señalado el hecho de que tenemos $10$ dedos de las manos/dedos de los pies para que sea fácil contar la base- $10$ números con los dedos. Pero esto no tiene una gran importancia (en matemáticas escritas) ya que no se suele contar con los dedos. Como @Luís Henrique señala, esto puede haber sido mucho más importante en sociedades más primitivas en las que los números podían comunicarse mediante signos manuales (en lugar de con palabras escritas o habladas), por lo que puede dar una base histórica para el uso de la base- $10$ . Por otro lado, los ordenadores utilizan el sistema binario (base- $2$ ) ya que representan números en estados electrónicos (por ejemplo, una bombilla encendida o apagada). Esto hace que los ordenadores sean mucho más sencillos y fáciles de trabajar (sobre todo en el diseño y la fabricación de transistores) para que funcionen en binario. Aunque ha habido ordenadores que han utilizado la base- $3$ (ordenadores ternarios), son menos comunes.

Espero que esto responda a sus preguntas.

Answer 2

Todo esto se reduce al concepto de notación posicional. Por ejemplo, considera el número $19$ (en base $10$), que en base $2$ se convierte en $10011$. Para entender por qué, necesitas comprender qué significa esta notación: $$ 19_{10} = \color{lime}{1}\color{green}{0}\color{olive}{0}\color{grey}{1}1_2 := 1 \cdot 2^0 + \color{grey}{1} \cdot 2^1 + \color{olive}{0} \cdot 2^2 + \color{green}{0} \cdot 2^3 + \color{lime}{1} \cdot 2^4 $$ Entonces, ¿cómo podemos hacer esta conversión? Observa que aplicando repetidamente la propiedad distributiva del producto sobre la suma tenemos $$ \begin{align} 19_{10} &= 1 + 2 \cdot \color{grey}{1} + 2^2 \cdot \color{olive}{0} + 2^3 \cdot \color{green}{0} + 2^4 \cdot \color{lime}{1} \\ &= 1 + 2 \cdot (\color{grey}{1} + 2 \cdot \color{olive}{0} + 2^2 \cdot \color{green}{0} + 2^3 \cdot \color{lime}{1}) \\ &= 1 + 2 \cdot \big(\color{grey}{1} + 2 \cdot (\color{olive}{0} + 2 \cdot \color{green}{0} + 2^2 \cdot \color{lime}{1})\big) \\ &= 1 + 2 \cdot \Big(\color{grey}{1} + 2 \cdot \big(\color{olive}{0} + 2 \cdot (\color{green}{0} + 2 \cdot \color{lime}{1})\big)\Big) \end{align} $$ entonces puedes ver que el resto $r_0$ de $19$ al dividirlo por $2$ es su primer dígito binario. Luego podemos realizar división por $2$ con resto en $(19 - r_0)/2$ para encontrar el siguiente dígito, $r_1$, y así sucesivamente.

El caso de los números fraccionarios es similar, después de observar que $$ 0.abc\dotsc_2 := a \cdot 2^{-1} + b \cdot 2^{-2} + c \cdot 2^{-3} + \dotsb $$

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Ten en cuenta que esta no es la única forma posible de hacer esta conversión, pero ciertamente es bastante eficiente. Además, por analogía, puedes ajustar este algoritmo para escribir un número en cualquier base entera $b > 1$, con los enteros entre $0$ y $b-1$ (incluido) como dígitos!

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Actualización: Dado que se preguntó en los comentarios, aquí hay una manera rápida de encontrar los dígitos binarios de la parte fraccionaria de un número dado.

Primeramente, nota que si $f$ es la parte fraccionaria, entonces $0 \leq f < 1$. Además, $0 \leq 2f < 2$, y si observas la ecuación anterior para $0.abc\dotsc_2$ verás que la parte entera de $2f$ no es otra que $a$, ¡el primer dígito de la expansión binaria! Si ahora quitas $a$, puedes repetir el proceso, porque la misma ecuación nos dice que la parte entera de $2(2f-a)$ es $b$. En otras palabras, aquí está el algoritmo:

1. Supongamos que se da $f$ tal que $0 \leq f < 1$.
2. El siguiente dígito es $\lfloor 2f \rfloor$, donde $\lfloor \cdot \rfloor$ denota tomar la parte entera.
3. Sea $f' = 2f - \lfloor 2f \rfloor$ la parte fraccionaria de $2f$. Si $f'=0$, detén, de lo contrario, continúa desde 1 con $f = f'$.

Por ejemplo, considera el número $\frac{5}{8}=0.625_{10}$. Entonces:

• $2*\frac{5}{8} = \frac{5}{4} = 1 + \frac{1}{4}$, por lo que el primer dígito es $1$.
• $2*\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$, por lo que el segundo dígito es $0$.
• $2*\frac{1}{2} = 1$, por lo que el tercer y último dígito es $1$.

Al final, $0.625_{10} = 0.101_{2}$.

Para un número con expansión binaria infinita, considera $1/3 = 0.333\dotsc_{10}$. Luego:

• $2*\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, por lo que el primer dígito es $0$.
• $2*\frac{2}{3} = \frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3}$, por lo que el siguiente dígito es $1$.

Dado que nos queda $\frac{1}{3}$, que es con lo que empezamos, podemos concluir que la expansión es periódica, por lo tanto, $0.333\dotsc_{10} = 0.0101\dotsc_{2}$.

Answer 3

Para convertir un número decimal en un número binario, el número decimal se divide repetidamente por 2 para contar los pasos de división (k) requeridos para alcanzar la etapa terminal cuando ya no es posible realizar más divisiones del cociente obtenido previamente por 2. El parámetro K lo define todo sobre la conversión. Por ejemplo, k = el número de posiciones binarias para llenar con dígitos binarios (0, 1) para representar con precisión el número decimal en forma binaria. El valor de k también define la potencia de 2 que se asignará al dígito binario según su valor de posición en la secuencia de dígitos binarios, de modo que el dígito binario i-ésimo (rango de i = 1 a k) se obtiene mediante 2^ (k-i). Si se requirieron 6 divisiones para una conversión particular, entonces k = 6; habrá 6 posiciones binarias. El rango de potencias de 2 se extenderá desde 0 hasta k-1. La potencia más alta de 2 posible para cualquier entero está definida por 2^(k-1). Comenzando desde la potencia más alta (extremo izquierdo) hasta el extremo derecho (posición unitaria), las potencias de 2 se ejecutarán como 2^(k-1), 2^(k-2),…,2^1,2^0. Para llenar 6 posiciones de dígitos binarios, las potencias de 2 a sumar irán desde 2^5 hasta 2^0 (k= 6). Por ejemplo, al convertir el decimal 35 a forma binaria, necesitamos 6 divisiones repetidas de 35 por 2 para llegar a la etapa en la que el cociente obtenido resiste cualquier división adicional por 2:

Paso1 {35: cociente = 35//2 =17, residuo =35 % 2 =1} Paso2 {17: cociente = 17//2 = 8, residuo = 17 % 2 =1} Paso3 {8: cociente = 8//2 = 4, residuo = 8% 2 =0} Paso4 {4: cociente = 4//2 =2, residuo = 4 % 2 =0} Paso5 {2: cociente = 2//2 = 1, residuo = 2 % 2 =0} Paso6 {1: cociente = 1//2 = > 0, residuo = 1%2 =1} K= 6. Hay 6 dígitos binarios para el número decimal 35. Por lo tanto, la potencia máxima de 2 en 35 es 2^(k-1) = 2^5 = 32 Las seis posiciones binarias representadas por la cadena de residuos de abajo hacia arriba son 100011. Solo hay 3 posiciones que representan potencias de 2. Estas están definidas por los valores de k: k=6, k=2, k=1 (desde la izquierda) representando la suma de 2^ (6-1) +2^ (2-1) +2^ (1-1) =32+2+1 =35. Para convertir cualquier número binario en un número decimal, se escriben los valores de k de las posiciones unitarias en dígitos binarios (contando 1 desde el extremo derecho hasta la izquierda), para cada posición se toman múltiplos de 2 por (k-1) veces. Aplicando la regla al ejemplo citado: 100011. K=6, 2, 1. Representa la suma de: 2^5 + 2^1 + 2^0 =35. La regla se aplica a cualquier sistema de base numérica donde los residuos estén en el rango de 0 a (b-1) donde b es la base numérica en consideración (3,4,5,6,8,12,16,30,60,...). Allí también se ignoran las posiciones 0 y las posiciones que muestran un residuo diferente de 0 se consideran para la multiplicación por b^(k-1). Esta es una forma generalizada de representación en términos de divisiones o multiplicaciones repetidas utilizando potencias de base, y realizando multiplicaciones o divisiones por b. En el caso presente, b=2, y el residuo a considerar para la multiplicación es 1.