¿Cómo puedo resolver $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{4\,dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}$ ?

Question

Muy bien, así que tengo $$\int_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{4\,dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}.$$ Y no estoy completamente seguro de cómo abordar este problema. Todo lo que he hecho hasta ahora es $$4\int_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{1}{\sin^2(x)}\frac{1}{\cos^2(x)}dx$$ y no sé cómo enfocar este problema. Agradecería mucho cualquier ayuda, ¡gracias de antemano!

Answer 1

Recordemos que en trigonometría $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ (así $\sin x\cos x = \frac 1 2\sin(2x)$ ). $$ \int \frac{4\,dx}{\sin^2 x\cos^2 x} = \int\frac{4\,dx}{\frac14\sin^2(2x)}. $$ Esto se reduce a $\displaystyle\int\csc^2 u\,du$ que se tabula en todos los libros de texto.

Answer 2

Aquí tienes otra forma de hacerlo. Utilizando la sustitución $x=\tan{\theta}$ ,

$$\begin{align} \int_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{4\,\mathrm{d}\theta}{\sin^2{\left(\theta\right)}\cos^2{\left(\theta\right)}} &=4\int_{1/\sqrt{3}}^{1}\frac{(x^2+1)^2}{x^2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{x^2+1}\\ &=4\int_{1/\sqrt{3}}^{1}\frac{x^2+1}{x^2}\mathrm{d}x\\ &=4\int_{1/\sqrt{3}}^{1}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x\\ &=4\left(x-\frac{1}{x}\right)_{1/\sqrt{3}}^{1}\\ &=\frac{8}{\sqrt{3}}. \end{align}$$

Answer 3

De otra manera:

Utilice $\sin^2x + \cos^2 x = 1$

$\displaystyle \int dx\frac{\sin^2x + \cos^2x}{\sin^2x \cos^2x} = \int dx\sec^2x + \csc^2 x = \tan x - \cot x +C$

Answer 4

Escribe la integral como

$$ \int_{\pi/6}^{\pi/4} \sec^2(x) \csc^2(x) dx $$

a continuación, utilice la integración por partes con $u=\csc^2(x)$ da

$$ 2-\frac{4}{\sqrt {3}}\,+2\,\int _{1/6\,\pi }^{1/4\,\pi }\! \csc^2(x){dx}.$$

Creo que puedes terminarlo.

Answer 5

Tenga en cuenta que $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$

Así, su integral puede reescribirse como

$$ \int \frac{16}{\sin(2x)^2} dx $$

claro que podemos hacer el cambio $2x = u$ para obtener

$$ 8\int \frac{1}{\sin(u)^2} du $$

Que es sólo

$$8 \cot(2x) + C$$