Mi amigo y yo estamos debatiendo la siguiente pregunta:
Deje $y_n$ ser una secuencia en un espacio métrico y asumir que las subsecuencias $y_{2n}$, $y_{2n + 1}$, y $y_{3n}$ todos convergen. ¿Qué podemos decir acerca de la secuencia de $y_n$?
A mí me parece que todas las subsecuencias se converge a un límite de decir $y$. Entonces cualquier término en la secuencia original va a ser en uno de estos subsecuencias, se sigue que toda la secuencia $y_n$ converge a $y$.
Dejo $\varepsilon > 0$. Desde $y_{2n}$ converge a $y$ existe un índice $2N$ tal que $d(y_{2n},y) < \varepsilon$$2n \geq 2N$, y desde $(y_{2n+1})$ converge a $y$ existe $2M + 1$ tal que $d(y_{2n+1}, y) < \varepsilon$$2n + 1 \geq 2M + 1$.
Deje $m \geq \max\{2N,2M+1\}$. Si $m$ es incluso, desde la $m\geq 2N$ tenemos $d(y_m,y)<\varepsilon$; si $m$ es extraña, pues el $m\geq 2M+1$ tenemos $d(y_m,y)<\varepsilon$. Por lo tanto $d(y_m,y)<\varepsilon$ cualquier $m \geq \max\{2N,2M+1\}$, y llegamos a la conclusión de que $(y_n)$ converge a $y$.
Sin embargo, mi amigo no creo que esto es completamente correcto, ya que yo no uso el $y_{3n}$ en la prueba. Creo que tiene razón, que yo en realidad lo necesitan, pero no estoy seguro de cómo agregar. Con todo, creo que desde cualquier término en la secuencia original va a ser en uno de estos subsecuencias, se sigue que toda la secuencia $(y_n)$ converge a $y$.
$2n+1$ cubre todos los términos raros y $2n$ converse todas las condiciones, por lo que es $3n$ incluso se necesita? Me gustaría usarlo ya que la prueba la tiene en la pregunta, pero no estoy segura de qué hacer. Podría alguien amablemente me ayude a construir esta prueba de una mejor manera,y es mi línea de pensamiento correcto? Gracias!
