4 votos

¿Son correctas mis pruebas de las propiedades básicas del orden de $\mathbb{N}$?

En Terry Tao del Análisis del yo, las propiedades básicas de la orden de $\mathbb{N}$ se dan, y las pruebas que se deja como ejercicio. He trabajado a través de ellos, pero necesito a alguien para comprobar si yo no estoy engañando a mí mismo.

Propiedades:

  1. $a\ge a$

  2. Si $a \ge b$$b \ge c$,$a \ge c$.

  3. Si $a \ge b$$b \ge a$,$a=b$.

  4. $a \ge b \iff a+c \ge b+c$

  5. $a<b \iff S(a) \le b$

  6. $a<b \iff b = a+d$ donde $d>0$

Observaciones: $a \ge b \iff a = b+c$ para algún número natural $c$, e $a>b \iff a=b+c$ donde $a \ne b$. Un número natural $a$ dijo ser positiva si y sólo si $a \ne 0$. $S(a)$ denota el sucesor de $a$. Antes de esto, he probado algunas propiedades básicas de adición, y sólo los Axiomas de Peano se supone.

Mis pruebas:

  1. Desde $a=a+0$, de acuerdo con nuestra definición, el resultado de la siguiente manera.

  2. Desde $a \ge b \iff a=b+d$ para algún número natural $d$, e $b \ge c \iff b = c+e$ para algún número natural $e$,$a=c+(e+d)$, lo que implica que $a \ge c$.

  3. $a \ge b \iff a=b+c$ $b \ge a \iff b=a+d$ , y tenemos $a=a+(c+d)$; por lo tanto, por cancelación (que es probado antes), tenemos $c+d =0$, lo $c=0$$d=0$, y el resultado de la siguiente manera.

  4. Si $a \ge b$, entonces debe ser el caso de que $a=b+c$ donde $c$ es un número natural. Ahora considere el $a+c = (b+c)+c$; por lo tanto, por definición, $a+c \ge b+c$. Ahora ya $a+c \ge b+c$, $a+c = b+c+d$, donde $d$ es un número natural, y el resultado de la siguiente manera.

  5. Tenemos que demostrar que el $a < b \implies S(a)+b$$S(a)+b \implies a<b$. La primera implicación puede por probado considerando el hecho de que $c$ debe ser positivo en $a+c=b$, o de lo contrario se obtiene una contradicción. Ahora podemos escribir $c$ $d+1$ donde $d$ es un número natural. Por lo tanto $a+d+1 = b \iff (a+1)+d = b \iff S(a)+d=b$, y llegamos a nuestra primera implicación. La segunda implicación se puede obtener usando un argumento similar.

  6. Tenemos que demostrar que el $a<b \implies b=a+d$ donde $d$ es positivo, y $b=a+d \implies a<b$. La primera implicación de la siguiente manera inmediata, ya que $a \ne b$, o de lo contrario se obtiene una contradicción, y la segunda se puede hacer más o menos de la misma manera, pero en sentido inverso. Pero hay algo desconcertante aquí, ¿por qué vendrá después (5)? Tal vez hay una sencilla prueba de (5) sin recurrir a los (6); apreciaría si usted podría señalar cómo se puede hacer de manera más sencilla. Gracias!

2voto

DiGi Puntos 1925

Suponiendo que usted ha demostrado las propiedades de la suma que se utiliza, es en su mayoría a la derecha. En la prueba de $(4)$, sin embargo, usted está utilizando el nombre de $c$, para las dos cantidades diferentes. Lo que quiero decir es que si $a\ge b$, entonces no es un $d$ tal que $a=b+d$. Pero, a continuación,$a+c=(b+c)+d$, lo $a+c\ge b+c$.

Para $(5)$, en la de la derecha-a-izquierda implicación estás asumiendo que $S(a)\le b$. A partir de esto se puede inferir que el $b=S(a)+c=(a+1)+c=a+(c+1)=a+S(c)$ algunos $c$. Con el fin de completar la prueba de que $a<b$, usted debe demostrar que $a\ne b$. Si $a=b$,$a+0=a+S(c)$, por lo que (como en la prueba de $(3)$) $S(c)=0$, lo cual es imposible. En ningún momento se hace la prueba de dirección realidad el uso de $(6)$; por el contrario, las pruebas a las que usan las definiciones de $\le$$<$.

No hay una necesidad real para $(6)$ seguir $(5)$; de hecho, podría haber llegado muy temprano en la lista, salvo que el Tao parece que ha decidido poner todos los resultados estrictamente $\le$ antes de aquellos que involucran $<$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X