En Terry Tao del Análisis del yo, las propiedades básicas de la orden de $\mathbb{N}$ se dan, y las pruebas que se deja como ejercicio. He trabajado a través de ellos, pero necesito a alguien para comprobar si yo no estoy engañando a mí mismo.
Propiedades:
$a\ge a$
Si $a \ge b$$b \ge c$,$a \ge c$.
Si $a \ge b$$b \ge a$,$a=b$.
$a \ge b \iff a+c \ge b+c$
$a<b \iff S(a) \le b$
$a<b \iff b = a+d$ donde $d>0$
Observaciones: $a \ge b \iff a = b+c$ para algún número natural $c$, e $a>b \iff a=b+c$ donde $a \ne b$. Un número natural $a$ dijo ser positiva si y sólo si $a \ne 0$. $S(a)$ denota el sucesor de $a$. Antes de esto, he probado algunas propiedades básicas de adición, y sólo los Axiomas de Peano se supone.
Mis pruebas:
Desde $a=a+0$, de acuerdo con nuestra definición, el resultado de la siguiente manera.
Desde $a \ge b \iff a=b+d$ para algún número natural $d$, e $b \ge c \iff b = c+e$ para algún número natural $e$,$a=c+(e+d)$, lo que implica que $a \ge c$.
$a \ge b \iff a=b+c$ $b \ge a \iff b=a+d$ , y tenemos $a=a+(c+d)$; por lo tanto, por cancelación (que es probado antes), tenemos $c+d =0$, lo $c=0$$d=0$, y el resultado de la siguiente manera.
Si $a \ge b$, entonces debe ser el caso de que $a=b+c$ donde $c$ es un número natural. Ahora considere el $a+c = (b+c)+c$; por lo tanto, por definición, $a+c \ge b+c$. Ahora ya $a+c \ge b+c$, $a+c = b+c+d$, donde $d$ es un número natural, y el resultado de la siguiente manera.
Tenemos que demostrar que el $a < b \implies S(a)+b$$S(a)+b \implies a<b$. La primera implicación puede por probado considerando el hecho de que $c$ debe ser positivo en $a+c=b$, o de lo contrario se obtiene una contradicción. Ahora podemos escribir $c$ $d+1$ donde $d$ es un número natural. Por lo tanto $a+d+1 = b \iff (a+1)+d = b \iff S(a)+d=b$, y llegamos a nuestra primera implicación. La segunda implicación se puede obtener usando un argumento similar.
Tenemos que demostrar que el $a<b \implies b=a+d$ donde $d$ es positivo, y $b=a+d \implies a<b$. La primera implicación de la siguiente manera inmediata, ya que $a \ne b$, o de lo contrario se obtiene una contradicción, y la segunda se puede hacer más o menos de la misma manera, pero en sentido inverso. Pero hay algo desconcertante aquí, ¿por qué vendrá después (5)? Tal vez hay una sencilla prueba de (5) sin recurrir a los (6); apreciaría si usted podría señalar cómo se puede hacer de manera más sencilla. Gracias!