Terminología: Un homomorfismo se factoriza

Question

Nunca había escuchado el término "homomorfismo" antes, y está en mi tarea actual, así que esperaba que alguien pudiera explicar.

El problema:

Sea $\pi:G\rightarrow G/G'$ el homomorfismo canónico y sea $A$ un grupo abeliano. Demuestra que todo homomorfismo de grupos $\phi:G\rightarrow A$ se factoriza como $\phi = \phi'\circ\pi$ donde $\phi':G/G'\rightarrow A/A'$ es el homomorfismo de grupos inducido. (Donde $G'$ es el subgrupo conmutador de $G$.)

Hasta ahora, lo que he investigado... Como $A$ es abeliano, notamos que para cualquier elemento $a_1,a_2\in A$, $a_1^{-1}a_2^{-1}a_1a_2 = e_A$. Así que $A' = \{e_A\}$ y $A/A' \cong A$. Por lo tanto, si dejamos que $\phi:G\to A$ sea un homomorfismo de grupos, para cada $g,h\in G$, debemos tener $\phi(g)\phi(h) = \phi(gh)$. Ahora, como $A$ es abeliano, también debemos tener $\phi(g)^{-1}\phi(h)^{-1}\phi(g)\phi(h) = e_A. Pero usando el hecho de que $\phi$ es un homomorfismo nuevamente, tenemos $\phi(g^{-1}h^{-1}gh) = e_A$, y por lo tanto, cada elemento de $G'$ es mapeado por $\phi$ a $e_A$.

Así que, si tenemos cualquier elemento $g\in G$, $\phi'\circ\pi(g) = \phi'(gG') = \phi(g)A'$, que es simplemente $\{\phi(g)\}$.

¿Es esto lo que la pregunta estaba pidiendo? ¡Gracias!

Editar: Nueva versión,

Como siempre es una buena idea, comenzamos mostrando que el mapa $\phi':G/G'\to A/A'$ dado por $\phi'(hG') = \phi(h)A'$ está bien definido. Para cualquier $g,h\in G$ notamos que $\phi(g^{-1}h^{-1}gh) = \phi(g)^{-1}\phi(h)^{-1}\phi(g)\phi(h)\in A'$. Por lo tanto, $\phi(G')\subset A'$. Ahora, si tenemos dos elementos $h_1,h_2\in G$ tales que $[h_1] = [h_2]$, entonces, por definición, tenemos $h_1 = h_2c$ para algún $c\in G'$. Por lo tanto, $\phi(h_1) = \phi(h_2c) = \phi(h_2)\phi(c)\in \phi(h_2)A'$. Por lo tanto, $[\phi(h_1)] = [\phi(h_2)]$ en $A/A'$, y $\phi'$ está bien definido.

Para ver que $\phi'$ es de hecho un homomorfismo de grupos, sea $g,h\in G$. Entonces \begin{align*} \phi'([g][h]) &= \phi'([gh])\newline &= \phi(gh)A'\newline &= \phi(g)\phi(h)A'\newline &= (\phi(g)A')(\phi(h)A') = \phi'([g])\phi'([h]). \end{align*} Como $A$ es abeliano, notamos que para cualquier elemento $a_1,a_2\in A$, $a_1^{-1}a_2^{-1}a_1a_2 = e_A$. Así que $A' = \{e\}$ y $A/A' \cong A$. Entonces, aunque $\phi'$ mapea a $A/A'$, simplemente podemos decir que $\phi'$ mapea a $A$ de la manera obvia, por lo que aquí decimos $\phi'([h]) = \phi(h)$ para cualquier $h\in G.

Dado esto, para cualquier elemento $g\in G$, tenemos $\phi'\circ\pi(g) = \phi'(gG') = \phi(g)$, y así cualquier homomorfismo de grupos $\phi:G\to A$ se factoriza como $\phi'\circ\pi$.

Answer 1

Decimos que un homomorfismo $f\colon G\to K$ "se factoriza a través de" otro homomorfismo si se puede escribir $f$ como una composición usando ese homomorfismo.

Por ejemplo, si $f\colon G\to K$ "se factoriza a través de" $\pi\colon G\to H$, eso significa que existe un homomorfismo $u\colon H\to K$ tal que $f = u\circ\pi$. La razón por la que lo llamamos "se factoriza a través de" es que si escribes la composición de funciones por simple yuxtaposición, obtienes $f=u\pi$, lo cual sugiere que $\pi$ "divide" a $f, o que puedes "factorizar" a $f en un "producto" en el que uno de los factores es $\pi$.

Lo que la pregunta te está pidiendo que hagas es demostrar que si $\phi\colon G\to A$ es un homomorfismo de $G$ en un grupo abeliano, entonces el homomorfismo $\phi'\colon G/G' \to A/A'$ inducido por $\phi$ (dado por la fórmula $\phi'(gG')=\phi(g)A'$) cumple $\phi(x) = \phi'(\pi(x))$ para todo $x\in G$ (es decir, que la función $\phi$ es la misma que la función $\phi'\circ\pi).

(Estoy asumiendo que ya has demostrado que si $f\colon G\to K$ es un homomorfismo de grupos, entonces $f'\colon G/G'\to K/K'$ dado por $f'(gG') = f(g)K'$ es un homomorfismo de grupos bien definido; si no lo has hecho, ¡entonces necesitas hacerlo!)

Te has iniciado correctamente: técnicamente, $\phi'\circ\pi$ no puede ser igual a $\phi$, porque el codominio de $\phi$ es $A, mientras que el codominio de $\phi'\circ\pi$ es $A/A'$. Por lo tanto, tu primer paso, mostrando que $A'$ es trivial, fue genial. Eso significa que $A/A'$ es "realmente" (canónicamente) lo mismo que $A, de modo que puedes considerar $\phi'$ como un mapa $\phi'\colon G/G'\to A; así, $\phi'$ "puede ser pensado" como dado por $\phi'(gG') = \phi(g)$. Entonces solo necesitas verificar que las dos funciones, $\phi$ y $\phi'\circ\pi$, son iguales.

El hecho de que cada elemento de $G'$ se mapea al elemento trivial de $A es importante para mostrar que $\phi'$ está bien definido, pero si ya sabes que está bien definido, entonces no lo necesitas