Como ha notado, si $x$ es un número entero, $\lceil nx \rceil = n\lceil x \rceil$ para cualquier número entero $n$ y por lo tanto $\lceil x\rceil - \frac{\lceil nx\rceil}{n} = 0.$
Para $x$ no es un número entero, sea $x' = \lceil x \rceil - x.$ Entonces $$\lceil nx \rceil = \lceil n\lceil x \rceil - nx' \rceil = n\lceil x \rceil + \lceil -nx' \rceil = n\lceil x \rceil - \lfloor nx' \rfloor,$$ así que $$n\lceil x \rceil - \lceil nx \rceil = n\lceil x \rceil - (n\lceil x \rceil - \lfloor nx' \rfloor) = \lfloor nx' \rfloor.$$
Por lo tanto, se busca el menor valor de $n$ tal que $\lfloor nx' \rfloor \geq ny.$ Es decir, hay un número entero en el intervalo $[ny, nx']$ (ya sea entre $ny$ y $nx'$ o igual a uno de ellos).
Aún no es una solución, pero lo reduce a un problema más familiar: en un plano cartesiano con ejes de coordenadas $u$ y $v$ (puesto que ya hemos utilizado $x$ y $y$ para otras cosas), encontrar el punto en el primer cuadrante del plano de coordenadas enteras que esté sobre o entre las rectas $v = yu$ y $v = x'u$ y en o a la derecha de la línea $u=1,$ tal que el $u$ -del punto se minimiza. (La línea $u=1$ está ahí simplemente para excluir el propio origen). Un problema similar se plantea en una pregunta en Stack Overflow . Las respuestas a esta pregunta sugieren la existencia de métodos de solución eficientes, aunque ninguno parece presentar uno en detalle explícito (y el propio problema supone las pendientes de las líneas, en nuestro caso, $x'$ y $y$ -son racionales). El problema en sí puede expresarse como problema de programación lineal entera mixta .
La pregunta de Stack Overflow fue seguida en una pregunta en Math Overflow con algunas respuestas adicionales.
Si $n \geq \frac{1}{x' - y},$ entonces $nx' - ny \geq 1$ y somos garantizado que $\lfloor nx' \rfloor \geq ny.$ Esto limita el número de valores de $n$ tal vez tengas que intentarlo. También permite añadir una condición al problema, $u < u_\max,$ lo que significa que la región que contiene las soluciones está acotada.
Sobre los valores máximo y mínimo de $\lceil x\rceil - \frac{\lceil nx\rceil}{n}$ :
Desde $nx' \geq \lfloor nx' \rfloor,$ una solución para $n$ sólo existe si $x' \geq y.$ Tenga en cuenta también que $x' = 1 - \{x\} < 1$ Por lo tanto $y < 1.$ Pero puede permitir $y$ para estar lo más cerca posible de $1$ como desee en $\lceil x\rceil - \frac{\lceil nx\rceil}{n} \geq y$ haciendo $n$ muy grande y ajuste $x = \frac1n,$ así que $1$ es el límite superior mínimo de $y.$
También $x' \geq 0,$ así que $\lfloor nx' \rfloor \geq 0$ para $n > 0.$ Desde $\frac1n\lfloor nx' \rfloor = \lceil x\rceil - \frac{\lceil nx\rceil}{n},$ se deduce que $\lceil x\rceil - \frac{\lceil nx\rceil}{n} \geq 0.$
