cociente de aislamiento

Question

Estoy luchando con el siguiente problema: $T : \mathbb{X} \to \mathbb{Y}$ es un operador lineal, y $\mathbb{X}$ , $\mathbb{Y}$ están normativa espacios.

Demostrar que : $T$ es un "cociente mapa" iff la inducida por el operador $T': \mathbb{X}/\ker(T) \to \mathbb{Y}$ es una isometría.

(Estoy trabajando con un alemán de libros de texto y en el que la terminología de un cociente mapa entre la normativa de los espacios $\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$ es un operador lineal que se asigna al abrir la unidad de la bola en $\mathbb{X}$ surjectively en el abierto de la unidad de pelota en $\mathbb{Y}$ ; no sabe si que es un estándar).

Hasta ahora yo podría fácilmente la prueba de que si $T'$ es una isometría $T$ debe ser un "cociente de mapa" , pero no puedo mostrar la otra implicación, así que agradecería una pista .

Gracias hasta ahora Daniel

Answer 1

Supongamos $T$ es un cociente mapa, luego tenemos a $B_\mathbb{Y} \subset T(B_\mathbb{X})$ donde $B_\mathbb{X}$ $B_\mathbb{Y}$ son el open de la unidad de bolas de $\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$ respectivamente. Tomar cualquier $x \in \mathbb{X}$ y deje $y = Tx$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer $x \not \in \ker T$. Ahora para cualquier $\epsilon \in (0,1)$, hay algunos $x_0 \in B_\mathbb{X}$ tal que $Tx_0 = \epsilon \frac{y}{\lVert y \rVert}$. Ahora nos encontramos con que $$ \lVert x + \ker T \rVert \leq \epsilon^{-1} \lVert y \rVert \lVert x_0 \rVert \leq \epsilon^{-1} \lVert Tx \rVert, $$ debido a $x-\epsilon^{-1} \lVert y \rVert x_0 \in \ker T$. Desde $\epsilon$ era arbitraria, debemos tener $\lVert Tx \rVert \geq \lVert x+ \ker T \rVert$.

Todo lo que queda por probar es que el $\lVert Tx \rVert \leq \lVert x+ \ker T \rVert$. Tenga en cuenta que para cualquier $\epsilon > 0$ $x \in \mathbb{X}$ sabemos que $$ \lVert T\left( \frac{x}{\epsilon+\lVert x \rVert } \right) \rVert < 1, $$ desde $T$ es un cociente de mapa. Así que debido a $\epsilon >0$ fue arbitraria tenemos $\lVert Tx \rVert \leq \lVert x \rVert$. Tenga en cuenta que esto implica que para cualquier $x \in \mathbb{X}$ $y \in \ker T$ tenemos $\lVert T(x+y) \rVert = \lVert Tx \rVert \leq \lVert x+y \rVert$. Tomando el infimum resultados en $\lVert Tx \rVert \leq \lVert x+ \ker T \rVert.$ Esto concluye la prueba de que $T'$ es una isometría.